Kronecker-Paarung

Im mathematischen Gebiet d​er algebraischen Topologie definiert d​ie Kronecker-Paarung e​ine Paarung zwischen Homologie u​nd Kohomologie.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle k}$ eine natürliche Zahl, ${\displaystyle h\in H_{k}(X;\mathbb {Z} )}$ eine Homologieklasse und ${\displaystyle \beta \in H^{k}(X;A)}$ eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe ${\displaystyle A}$. Dann ist die Kronecker-Paarung von ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle h}$ durch

${\displaystyle \langle \beta ,h\rangle :=c(z)\in A}$

definiert, wobei ${\displaystyle c\in C^{k}(X;A)}$ ein die Kohomologieklasse ${\displaystyle \beta }$ repräsentierender Kozykel und ${\displaystyle z\in C_{k}(X)}$ ein die Homologieklasse ${\displaystyle h}$ repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von ${\displaystyle c(z)}$ nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels ${\displaystyle c}$ oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels ${\displaystyle z}$ abhängt.

Surjektivität

Aus d​em Universellen Koeffiziententheorem folgt, d​ass der d​urch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

${\displaystyle H^{k}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{k}(X),A)}$

ein Epimorphismus ist.

Literatur

• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.

Weblinks

• Kronecker pairing (nLab)