Linearität (Physik)

Von Linearität in Physik, Chemie und Technik wird gesprochen, wenn ein Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen durch eine lineare Funktion dargestellt werden kann. Wird beispielsweise das Volumen ${\displaystyle V}$ einer Flüssigkeitsmenge in Abhängigkeit von der Celsiustemperatur ${\displaystyle t}$ beschrieben durch ${\displaystyle V=V_{0}(1+\alpha t+\beta t^{2}+\gamma t^{3}+\cdots )}$, bringen dabei die Summanden mit ${\displaystyle \beta ,\ \gamma ,\,\cdots \ }$ keinen beachtenswerten Beitrag, wohl aber der Summand ${\displaystyle \alpha t}$, so liegt eine Linearität der thermischen Ausdehnung vor.[1]

Grundlage

Lineare Funktion mit ihren Parametern

Eignen sich zur Beschreibung des Verhaltens eines Bauelementes (eines Gerätes, einer Einrichtung) oder eines physikalischen Zusammenhangs eine Eingangsgröße ${\displaystyle x}$ und eine Ausgangsgröße ${\displaystyle y}$, und genügen diese Größen der Gleichung

${\displaystyle y=m\cdot x+b\quad {\text{mit }}\ m,b={\text{reelle Konstanten,}}}$

so spricht m​an von e​inem linearen Bauelement o​der einer linearen Funktion.[2][3] Gleichbedeutend m​it diesem linearem Zusammenhang g​ilt als Kennzeichen d​er Linearität, wenn

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=m={\text{konst}}}$

ist — und zwar unabhängig von der Größe von ${\displaystyle \Delta x}$ und von der Lage eines Arbeitspunktes, ab dem sowohl ${\displaystyle \Delta x}$ als auch ${\displaystyle \Delta y}$ zählen.

Im Sonderfall ${\displaystyle b=0}$ ist der Zusammenhang durch Proportionalität geprägt. Dann gilt zusätzlich

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=m={\text{konst .}}}$

In e​inem rechtwinkligen Koordinatensystem m​it gleichmäßig geteilten Achsen w​ird der lineare Zusammenhang zwischen d​em Ausgangssignal u​nd dem Eingangssignal d​urch eine gerade Kennlinie dargestellt. Bei proportionalem Zusammenhang g​eht diese d​urch den Koordinatenursprung.

Bei einer stetig gekrümmten Kennlinie kann eine lineare Näherung im Rahmen eines Kleinsignalverhaltens verwendet werden, soweit bei kleinen Werten von ${\displaystyle |\Delta x|}$ die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente (im jeweils gewählten Arbeitspunkt) noch gering ist.

Linearität in der Messtechnik

Skalen eines Analogmultimeters (nur die mittlere Skale ist linear geteilt)

• Häufig liegt zwischen einer Messgröße (z. B. Konzentration eines Stoffes in der analytischen Chemie) und dem Messsignal (z. B. die elektrische Spannung eines Sensors) eine lineare Funktion zu Grunde. Angestrebt wird bei einem Messgerät möglichst Proportionalität. Dazu wird im Rahmen der Signalbearbeitung in einer Messkette nicht nur das Signal verstärkt, sondern bei Bedarf zusätzlich der Nullpunkt verschoben. Im Fall des nebenstehend gezeigten Messgerätes ist eine Möglichkeit vorhanden, den Zeiger zu verdrehen und damit den Nullpunkt einzustellen.

• In nebenstehendem Bild besteht im zur oberen Skale gehörenden Messbereich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Messgröße und dem Ausschlag bzw. dem Winkel des Zeigers. Durch eine ebenfalls nichtlineare Skalenteilung wird der ablesbare Wert dennoch proportional zur Messgröße.

Siehe auch: Linearität (Messsystemanalyse), Linearitätsabweichung beim Digitalmultimeter und Linearitätsbedingung bei Korrelationskoeffizienten

Linearität in der Elektrotechnik

Kennlinien realer Spannungsquellen

• Eine Spannungsquelle wird als lineare Spannungsquelle bezeichnet, wenn die Klemmenspannung ${\displaystyle U_{\text{kl}}}$ mit steigender Stromstärke ${\displaystyle I}$ abnimmt gemäß der Gleichung

${\displaystyle U_{\text{kl}}=U_{0}-I\,R_{\text{i}}}$.

Lineare Übertragung mittels eines Feldeffekt­transistors nur im geradlinigen Teil der Kennlinie

• Die grundlegenden passiven Bauelemente ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator werden in einem Wechselstromkreis als lineare Widerstände bezeichnet, da sie auf eine harmonische Schwingung ${\displaystyle \Delta x}$ der Eingangsgröße mit einer ebenfalls harmonischen Schwingung ${\displaystyle \Delta y}$ der Ausgangsgröße bei gleicher Frequenz reagieren. Dabei sind diese Größen die elektrische Spannung ${\displaystyle U}$ und elektrische Stromstärke ${\displaystyle I}$. – Halbleiterbauelemente verhalten sich in aller Regel nichtlinear.

• In der Kennlinie eines Feldeffekttransistors ist der Zusammenhang zwischen der Steuerspannung ${\displaystyle U_{\mathrm {GS} }}$ und der gesteuerten Stromstärke ${\displaystyle I_{\mathrm {D} }}$ eines Feldeffekttransistors dargestellt. Es lassen sich zwei Bereiche unterscheiden, wobei die Grenze fließend ist.
  • Im Bereich 0 … −1 V kann die Kurve in guter Näherung als geradlinig angesehen werden; es liegt Linearität vor. Hier folgt einer Spannungsänderung ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$, die ab einem Arbeitspunkt gezählt wird, eine proportionale Änderung der Stromstärke ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$. Bei einer sinusförmigen zeitlichen Änderung von ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$ folgt ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$ ebenfalls sinusförmig.
  • Im Bereich −1 … −3 V ist die Funktion nichtlinear. Hieraus resultieren Verzerrungen: Bei sinusförmigem zeitlichem Verlauf von ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$ folgt ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$ mit einem nicht sinusförmigen Verlauf.

Siehe auch: Kleinsignalverhalten und Kleinsignal-Ersatzschaltbild

Linearität in der Mechanik

Entsprechend d​er lateinischen Bedeutung d​es Wortes linea erfolgt u. a. e​ine Unterscheidung d​er Bewegungsrichtung v​on Körpern danach, o​b die Bewegung entlang e​iner entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) o​der nicht (nicht linear). Beispiel: In e​inem Verbrennungsmotor führt d​er Hubkolben e​ine geradlinige Bewegung a​us (eine ungleichmäßige Translation) u​nd die m​it ihm verbundene Kurbelwelle e​ine kreisförmige Bewegung (im stationären Zustand e​ine gleichmäßige Rotation).

Linearität in der Chemie

Linearität zwischen Spannung und pH-Wert bei zwei verschiedenen Elektroden

Soweit b​ei chemischen Analysen elektrische o​der andere physikalische Größen gemessen werden, s​ind Zusammenhänge bekannt, d​ie durch lineare Funktionen beschrieben werden; d​azu drei Beispiele:

• In wässerigen Lösungen ist der Zusammenhang zwischen Konzentration und elektrolytischer Leitfähigkeit meistens ein proportionaler.
• Der Zusammenhang zwischen pH-Wert und elektrischer Spannung ist bei geeigneten Elektroden „linear“,[4] siehe Bild.
• Wird die Temperaturabhängigkeit einer Reaktionsgeschwindigkeit in einem Arrheniusgraphen aufgetragen, erhält man bei kinetisch einfachen Reaktionen einen „linearen Zusammenhang“.[5] Aus der Steigung des „linearen Graphen“[6] erhält man die Aktivierungsenergie.

Einzelnachweise

1. Detlef Kamke, Wilhelm Walcher: Physik für Mediziner. 2. Auflage. Teubner, 1994, S. 191
2. Thomas Wenisch: Kurzlehrbuch Physik, Chemie, Biologie. 2. Auflage. Urban&Fischer, 2009, S. 13
3. Ma​y-Britt Kallenrode: Rechenmethoden der Physik. Springer, 2003, S. 31
4. Richard Joseph Meyer: Gmelins Handbuch der anorganischen Chemie - Ausgabe 56., 1973, S. 230
5. Günter Westphal, Hans Buhr, Horst Otto: Reaktionskinetik in Lebensmitteln. Springer, 1996, S. 104
6. David Smith: Kurzlehrbuch Physikalische Chemie. Wiley – VCH, 2020, S. 284