LERF

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie wird eine Gruppe als LERF (locally extended residually finite, auch: subgroup separable) bezeichnet, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe ${\displaystyle H}$ und jedem nicht in ${\displaystyle H}$ liegenden Element ${\displaystyle g}$ eine Untergruppe von endlichem Index gibt, die ${\displaystyle H}$, aber nicht ${\displaystyle g}$ enthält.

Der Begriff i​st besonders i​n der niedrig-dimensionalen Topologie v​on Bedeutung. Dort w​ird die LERF-Eigenschaft v​on Fundamentalgruppen typischerweise ausgenutzt, u​m das Bild e​iner Immersion z​u einer Einbettung i​n einer geeigneten endlichen Überlegerung z​u heben. Im Zusammenhang m​it der 2012 v​on Ian Agol bewiesenen Virtuell Haken Vermutung s​ind Fundamentalgruppen m​it dieser Eigenschaft v​on Nutzen, w​eil dann j​ede zu e​iner Flächengruppe isomorphe Untergruppe e​iner in e​iner endlichen Überlegerung eingebetteten Fläche entspricht.

Definition

Eine Gruppe ist LERF wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ und jedem ${\displaystyle g\in G}$ einen Homomorphismus

${\displaystyle \phi \colon G\to F}$

von ${\displaystyle G}$ auf eine endliche Gruppe ${\displaystyle F}$ gibt, so dass ${\displaystyle \phi (h)=e\ \forall h\in H}$ und ${\displaystyle \phi (g)\not =e}$.

Eine äquivalente Formulierung ist, dass für jede endlich erzeugte Untergruppe ${\displaystyle H}$ die Gleichung

${\displaystyle H=\bigcap \left\{G^{\prime }\subset G\colon \left[G\colon G^{\prime }\right]<\infty ,H\subset G^{\prime }\right\}}$

gilt, es also zu jedem Element ${\displaystyle g\not \in H}$ eine ${\displaystyle H}$, aber nicht ${\displaystyle g}$, enthaltende Untergruppe ${\displaystyle G^{\prime }\subset G}$ von endlichem Index gibt.

Eine weitere äquivalente Formulierung ist, d​ass jede endlich erzeugte Untergruppe abgeschlossen bzgl. d​er proendlichen Topologie ist.

Topologische Interpretation

Die Fundamentalgruppe eines CW-Komplexes ${\displaystyle X}$ ist genau dann LERF, wenn gilt:

Für jede Überlagerung ${\displaystyle X^{\prime }\to X}$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe und jeden endlichen Unterkomplex ${\displaystyle \Delta \subset X^{\prime }}$ gibt es eine von ${\displaystyle X^{\prime }}$ überlagerte endliche Überlagerung ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$, so dass die Abbildung ${\displaystyle \Delta \to {\hat {X}}}$ eine Einbettung ist.[1]

Beispiele

• Abelsche Gruppen sind LERF.
• Freie Gruppen sind LERF.[2]
• Flächengruppen und Fundamentalgruppen von Seifert-Faserungen sind LERF.[3]
• Fundamentalgruppen geschlossener hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten sind LERF.[4]
• Freie Produkte und allgemeiner entlang einer zyklischen Gruppe amalgamierte Produkte von LERF Gruppen sind wieder LERF.[5]
• Limesgruppen sind LERF.[6]

Eigenschaften

• Gruppen, die LERF sind, sind auch residuell endlich.
• In Gruppen, die LERF sind, ist das Wortproblem lösbar.

Literatur

• Peter Scott: Subgroups of surface groups are almost geometric. J. London Math. Soc. 17 (1978)
• Rita Gitik: Doubles of groups and hyperbolic LERF 3-manifolds. Ann. of Math. (2) 150 (1999), no. 3, 775–806.

Einzelnachweise

1. Lemma 1.4 in: Scott, op. cit.
2. Marshall Hall: A topology for free groups and related groups. Ann. of Math. (2) 52, (1950). 127–139.
3. G. Peter Scott: Subgroups of surface groups are almost geometric, J. London Math. Soc. 17 (1978), 555–565; Correction: ibid. 32 (1985), 217–220
4. Ian Agol: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.
5. Brunner, Burns, Solitar: The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation. Contributions to group theory, 90–115, Contemp. Math., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
6. Henry Wilton: Hall's theorem for limit groups. Geom. Funct. Anal. 18 (2008), no. 1, 271–303.