Amalgamiertes Produkt

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ nach der Gruppe ${\displaystyle U}$ oder das freie Produkt der Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ mit der amalgamierten Untergruppe ${\displaystyle U}$ ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird zunächst das freie Produkt der Gruppen gebildet. Diese müssen hierbei jedoch alle eine zur (Unter-)Gruppe ${\displaystyle U}$ isomorphe Untergruppe enthalten. Danach werden diese Untergruppen durch (a) geeignete Identifikation von Elementen und (b) Anpassung der Gruppenverknüpfung innerhalb des freien Produktes miteinander verschmolzen (bildlich gesprochen) und in diesem Sinne amalgamiert.[1] Die Identifizierung von je zwei Elementen aus verschiedenen der vorgegebenen, zu ${\displaystyle U}$ isomorphen, Untergruppen wird hierbei über die Isomorphie zur Gruppe ${\displaystyle U}$ bewerkstelligt (s. u. Ä3) und die Gruppenverknüpfung dementsprechend angepasst (s. u. Gruppen-Verknüpfung).

Man spricht von einem nichttrivialen amalgamierten Produkt, wenn ${\displaystyle U\not =G_{1}}$ und ${\displaystyle U\not =G_{2}}$ ist.

Das amalgamierte Produkt von zwei Gruppen ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ mit einer gemeinsamen Untergruppe ${\displaystyle U}$ ist ein Beispiel für ein Pushout.

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe ${\displaystyle \{1\}}$[2] seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Definition (konstruktiv)

Grundvoraussetzungen

Sei ${\displaystyle I{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\{1,2,\ldots ,n\},n\in \mathbb {N} }$ eine Indexmenge und ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i\in I}}$ eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe ${\displaystyle U_{i}}$, und alle diese ${\displaystyle U_{i}}$ seien isomorph zu einer Gruppe ${\displaystyle U.}$ Der zugehörige Gruppenisomorphismus, der diese Isomorphie vermittelt, sei mit ${\displaystyle \varphi _{i}\colon U_{i}{\xrightarrow {\cong }}U}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ bezeichnet.

Sei weiter ${\displaystyle t\in \mathbb {N} .}$ – Ein Wort über den ${\displaystyle G_{i}}$ sei eine Hintereinanderschreibung (Aneinanderreihung, Verkettung, etc.)

${\displaystyle a_{1}a_{2}\ldots a_{t}}$

von Elementen aus den ${\displaystyle G_{i},}$ wobei das Wort entweder (für ${\displaystyle t=0}$) leer sei – dann geschrieben ${\displaystyle 1}$ oder ${\displaystyle \epsilon }$– oder es gebe für jedes ${\displaystyle i=1,\ldots ,t}$ ein ${\displaystyle j_{i}\in I,}$ sodass ${\displaystyle a_{i}\in G_{j_{i}}}$ gelte (d. h. zwei verschiedene ${\displaystyle a_{i}}$ müssen nicht aus derselben Gruppe sein).

Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente ${\displaystyle 1_{j}}$ der Gruppen ${\displaystyle G_{j}}$ ohne Unterschied ${\displaystyle 1}$.

Elementare Äquivalenzen

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des freien Produktes der Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ betrachten wir nun Wörter aus Elementen aus den ${\displaystyle G_{i}}$ und definieren sogenannte elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen denselben:

(Ä1)

– Neutrale Elemente können weggelassen werden. –

Falls ${\displaystyle a_{i}=1,}$ dann sei

${\displaystyle a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}a_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}}$

(elementar) äquivalent zu ${\displaystyle a_{1}\ldots {\overset {{\color {RawSienna}a_{i}}\!\!\!\!\!\!\diagup }{\overset {\uparrow }{a_{i-1}a_{i+1}}}}\ldots a_{t}.}$

(Ä2)

– Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden. –

Falls ${\displaystyle a_{i}}$ und ${\displaystyle a_{i+1}}$ aus derselben Gruppe ${\displaystyle G_{j}}$ sind und ${\displaystyle a_{i}a_{i+1}=a^{*}}$ in ${\displaystyle G_{j}}$ gilt, dann sei

${\displaystyle a_{1}\ldots {\color {RawSienna}a_{i}a_{i+1}}\ldots a_{t}}$

(elementar) äquivalent zu ${\displaystyle a_{1}\ldots {\color {RawSienna}a^{*}}\ldots a_{t}.}$

(Ä3)

Zwischenbemerkung: Wir sagen, zwei Elemente ${\displaystyle u_{j}\in U_{j}\subseteq G_{j}}$ und ${\displaystyle u_{k}\in U_{k}\subseteq G_{k}}$ mit ${\displaystyle j,k\in I}$ seien einander zugehörig, falls sie, vermittels der Isomorphismen ${\displaystyle \varphi _{j},\ \varphi _{k}}$ zwischen ${\displaystyle U_{j},}$ ${\displaystyle U_{k}}$ und ${\displaystyle U,}$ demselben ${\displaystyle u\in U}$ entsprechen; d. h. falls ${\displaystyle \varphi _{k}(u_{k})=u=\varphi _{j}(u_{j})}$ gilt.

– Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden. –

Falls ${\displaystyle a_{i}=u_{j}\in U_{j}\subseteq G_{j}}$ und ${\displaystyle b_{i}=u_{k}\in U_{k}\subseteq G_{k}}$ mit ${\displaystyle j,k\in I}$ und die Elemente ${\displaystyle u_{j}}$ und ${\displaystyle u_{k}}$ einander zugehörig sind, dann sei

${\displaystyle a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}a_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}}$

(elementar) äquivalent zu ${\displaystyle a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}b_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}.}$

Wortweise Äquivalenz

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen Ä1–Ä3 erklären wir nun die wortweise Äquivalenz: Zwei Wörter ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ seien (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

${\displaystyle x{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x_{1},\ x_{2},\ \ldots ,\ x_{m}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}y}$[3]

mit ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ gibt, in welcher ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{i+1}}$ für jedes ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$ elementar äquivalent sind. (Die wortweise Äquivalenz entspricht damit der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.) Für die so definierte Äquivalenzrelation benutzen wir im Folgenden das Symbol ${\displaystyle \sim .}$ Für (wortweise oder elementar) äquivalente Wörter ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ gilt also ${\displaystyle x\sim y.}$

Bezeichnen wir mit ${\displaystyle G}$ die Menge aller Wörter über den ${\displaystyle G_{i},}$ so bedeutet

${\displaystyle [x]=\{y\in G|y\sim x\}}$

die Menge aller zu ${\displaystyle x}$ äquivalenten Wörter. Dies wird auch die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle x}$ genannt.

Gruppen-Verknüpfung

Auf der Menge ${\displaystyle G}$ ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern ${\displaystyle x=a_{1}\ldots a_{t}}$ und ${\displaystyle y=b_{1}\ldots b_{s}}$ eine Verknüpfung

${\displaystyle xy=a_{1}\ldots a_{t}b_{1}\ldots b_{s}}$

erklärt. Wir übertragen schlussendlich diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf die Quotientenmenge ${\displaystyle G/{\sim }}$ von ${\displaystyle G}$ nach der Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim ,}$ indem wir definieren:

${\displaystyle [x]\ast [y]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}[xy].}$
Das Produkt (in G/~) der Äquivalenzklassen von x und y ist gleich der Äquivalenzklasse des Produktes (in G) von x und y.

Dieses Produkt wird auch als das kanonische[4] Produkt auf ${\displaystyle G/{\sim }}$ bezeichnet.

Abschlussdefinition

Die Quotientenmenge bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe ${\displaystyle \left(G/{\sim },\ast \right),}$ nämlich das amalgamierte Produkt der Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ oder das freie Produkt der Gruppen ${\displaystyle G_{i}}$ mit der amalgamierten Untergruppe ${\displaystyle U.}$

Literatur

• Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Fußnoten / Einzelnachweise

1. Vgl. dazu den entsprechenden Wiktionary-Eintrag unter Weblinks.
2. Die Untergruppen ${\displaystyle \{1\}}$ sind trivialerweise alle isomorph zu jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle ${\displaystyle U=\{1\}}$ als Amalgamierungsuntergruppe.
3. Die Folge ist ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$, wobei ${\displaystyle x_{1}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x}$ und ${\displaystyle x_{m}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}y}$ gesetzt wird. – „Bei der Interpretation der Formel werden Gleichheitszeichen vor Kommata ausgewertet.“
4. „kanonisch“ bedeutet soviel wie, dass das Produkt im Kanon der Mathematik, d. h. z. B. in der Leit-Literatur der Mathematik gewöhnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte, verbindliche und / oder verlässliche Konvention gelten kann. Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als kanonisches Recht.