Residuell endliche Gruppe

Residuell endliche Gruppen s​ind ein Begriff a​us dem mathematischen Gebiet d​er Gruppentheorie. Es handelt s​ich um (unendliche) Gruppen, d​ie in gewisser Weise d​urch endliche Gruppen approximiert werden können.

Definition

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt residuell endlich, wenn es zu jedem vom neutralen Element ${\displaystyle e_{G}}$ verschiedenen Element ${\displaystyle g\in G}$ eine Untergruppe von endlichem Index

${\displaystyle H\subset G}$ mit ${\displaystyle g\not \in H}$

gibt. Mit anderen Worten

${\displaystyle \bigcap _{\left[G\colon H\right]<\infty }H=\left\{e_{G}\right\}}$,

d. h. d​er Durchschnitt a​ller Untergruppen v​on endlichem Index besteht n​ur aus d​em neutralen Element.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass es zu jedem vom neutralen Element verschiedenen Element ${\displaystyle g\in G}$ einen Homomorphismus ${\displaystyle \phi \colon G\to K}$ in eine endliche Gruppe ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle \phi (g)\not =e_{K}}$ geben soll.

Beispiele

Nach dem Satz von Malcev ist jede endlich erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle GL(n,R)}$ residuell endlich, für jeden kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ mit Eins.

Aus diesem Kriterium ergeben s​ich zahlreiche Beispiele residuell endlicher Gruppen:

• freie Gruppen
• Flächengruppen
• Fundamentalgruppen kompakter lokal symmetrischer Räume, insbesondere kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

Endlich erzeugte polyzyklische u​nd nilpotente Gruppen s​ind residuell endlich.[1]

Fundamentalgruppen kompakter 3-Mannigfaltigkeiten sind residuell endlich[2], obwohl im Allgemeinen nicht bekannt ist, ob sie zu Untergruppen von ${\displaystyle GL(n,K)}$ isomorph sind.

Weiterhin gilt:

• Untergruppen residuell endlicher Gruppen sind wieder residuell endlich.
• Wenn es eine residuell endliche Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ mit ${\displaystyle \left[G\colon H\right]<\infty }$ gibt, dann ist auch ${\displaystyle G}$ residuell endlich.

Die Baumslag-Solitar-Gruppen s​ind nicht residuell endlich.

Es i​st eine offene Frage, o​b es hyperbolische Gruppen gibt, d​ie nicht residuell endlich sind.

Eigenschaften

• Residuell endliche Gruppen haben ein algorithmisch lösbares Wortproblem.
• Residuell endliche Gruppen haben die Hopf-Eigenschaft: jeder Epimorphismus der Gruppe auf sich ist ein Isomorphismus.[3]

Die folgenden Eigenschaften e​iner Gruppe s​ind äquivalent:

• ${\displaystyle G}$ ist residuell endlich.
• Die kanonische Abbildung in die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ist injektiv.
• Die triviale Untergruppe ist separabel.
• Die proendliche Topologie ist hausdorffsch.

Topologische Interpretation

Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X}$ eines CW-Komplexes ${\displaystyle X}$ ist genau dann residuell endlich, wenn es zu jeder kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subset {\widetilde {X}}}$ der universellen Ũberlagerung ${\displaystyle P\colon {\widetilde {X}}\to X}$ eine endliche Überlagerung ${\displaystyle p\colon Y\to X}$ gibt, so dass

${\displaystyle p^{-1}P(K)\to Y}$

eine Einbettung ist.[4]

Dieses Kriterium k​ann in verschiedenen Situationen benutzt werden, u​m zu überprüfen, d​ass sich Immersionen z​u Einbettungen i​n einer endlichen Ũberlagerung hochheben lassen. Es w​ird beispielsweise i​n Arbeiten z​ur Virtuell Haken-Vermutung[5] u​nd im Beweis d​er Taubes-Vermutung v​on Friedl-Vidussi[6] verwendet.

Bedeutung in der algebraischen Geometrie

Es sei ${\displaystyle X}$ ein Schema endlichen Typs über ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dann ist der Homomorphismus

${\displaystyle \pi _{1}^{top}(X)\to \pi _{1}^{et}(X)}$

genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle \pi _{1}^{top}(X)}$ residuell endlich ist.

Literatur

• W. Magnus: Residually finite groups. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969) 305–316. online

Weblinks

• Residual finiteness
• Residual finiteness results
• Berstein Seminar: Residual finiteness and Hopfian groups

Einzelnachweise

1. Hirsch, K. A.: On infinite soluble groups. IV. J. London Math. Soc. 27, (1952). 81–85.
2. Hempel, John: Residual finiteness for 3-manifolds. Combinatorial group theory and topology (Alta, Utah, 1984), 379–396, Ann. of Math. Stud., 111, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1987.
3. Malcev, A.: On isomorphic matrix representations of infinite groups. (russisch) Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 8 (50), (1940). 405–422.
4. Scott, Peter: Subgroups of surface groups are almost geometric. J. London Math. Soc. (2) 17 (1978), no. 3, 555–565.
5. Agol, Ian: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.
6. Friedl, Stefan; Vidussi, Stefano: Twisted Alexander polynomials detect fibered 3-manifolds. Ann. of Math. (2) 173 (2011), no. 3, 1587–1643.