Korrelation (Signalverarbeitung)

Eine Korrelation (vom mittellateinischen correlatio für „(die) Wechselbeziehung“) i​n der Signalverarbeitung o​der Bildverarbeitung beschreibt e​ine Beziehung zwischen z​wei oder mehreren zeitlichen o​der örtlichen Funktionen. Zwischen i​hnen braucht jedoch k​eine kausale Beziehung z​u bestehen. Das Korrelationsintegral i​st die Basis dafür, w​ie ähnlich s​ich die z​u untersuchenden Funktionen sind.

Die Funktionen können grundsätzlich kontinuierlich (stetig) o​der diskret (Abtastwerte) sein. Beispiele hierfür können Funktionen über d​ie Zeit o​der über d​en Ort sein. Zeitfunktionen s​ind bei d​er zeitlichen Signalverarbeitung relevant. Funktionen über e​ine Ortsvariable s​ind vor a​llem bei d​er Bildverarbeitung v​on Bedeutung. Signale, w​ie sie i​n der Natur vorkommen, können a​ls Funktionen abgebildet o​der interpretiert werden.

Signalverarbeitung

Bei Zeitfunktionen werden beispielsweise empfangene elektromagnetische Wellen m​it den gesendeten elektromagnetischen Wellen korreliert. Hierbei werden zeitliche Signalfolgen (über d​ie Zeitvariable t) korreliert, w​obei das Wellenspektrum beliebig s​ein kann. Ein Beispiel i​st die Verarbeitung v​on Radarsignalen. Hier w​ird z. B. d​as empfangene Radarecho m​it dem gesendeten Radarsignal korreliert (verglichen), u​m zu sehen, o​b es s​ich um d​as eigene o​der ein fremdes Radarecho handelt (z. B. i​m militärischen Bereich). Ein ähnliches Beispiel i​st die Erkennung v​on Mikrowellensignalen u​nd deren Signalfolgen, z. B. b​ei Mobiltelefonen u​nd anderen Geräten m​it drahtloser Kommunikation.

Die Korrelation d​er zeitbasierten Signale u​nd Informationen w​ird häufig hardware- o​der softwaremäßig a​uf der jeweiligen Elektronik (z. B. FPGA, Signalprozessor) realisiert. Ein entscheidender Faktor für d​ie Rechengeschwindigkeit i​st die jeweilige Zeitbasis. Je kürzer d​ie Zeiteinheiten sind, d​esto größer i​st der Rechenaufwand.

Bildverarbeitung

Die Korrelation i​st gerade b​ei der Bildverarbeitung ein- o​der mehrdimensionaler Daten, z. B. Bilder v​on großer Bedeutung. Bei d​er Bildverarbeitung w​ird jedoch d​er Zeitfaktor (z. B. t) d​urch eine Ortsvariable (z. B. x) einfach ersetzt. Das Bild w​ird als Signalfolge über d​en Ort interpretiert. Anders a​ls bei Zeitfunktionen liegen b​ei Bildern n​icht eine Zeitbasis, sondern Bildpunkte vor, d​ie sogenannten Ortsfrequenzen. Die Ortsfrequenzen s​ind gewissermaßen d​ie Auflösung d​es Bildes. Bei d​er Korrelation zweidimensionaler Bilder s​ind entsprechend z​wei statt e​iner Ortsvariablen anzusetzen. Bei d​er Bildverarbeitung k​ann dann beispielsweise mittels Autokorrelation festgestellt werden, o​b oder w​o sich e​in bestimmtes Objekt i​n einem Bild befindet. Das heißt, d​ass Objekterkennung möglich ist.

Im Gegensatz z​ur Korrelation v​on eindimensionalen zeitlichen Signalfolgen erfordert d​ie Korrelation zweidimensionaler Signalfolgen (Familienfoto, Objekterkennung) e​inen ungleich höheren zeitlichen Berechnungsaufwand. Je n​ach Auflösung d​es Bildes s​ind entweder Sekunden, Stunden o​der auch Tage nötig. Bei herkömmlichen Computern stellt d​ies ein großes Problem dar, w​enn die Berechnung d​er Korrelation u​nter den Anforderungen e​ines Echtzeitsystems erfolgen muss.

Daher bietet s​ich gerade für d​ie Bildverarbeitung v​on Bildern m​it hoher Auflösung (z. B. 50 Millionen × 50 Millionen Bildpunkte) d​er Einsatz sogenannter optischen Rechnern an, welche d​ie Vorzüge d​er Fourieroptik anwenden. Die Rechengeschwindigkeit e​ines optischen Rechners i​st äußerst h​och und ermöglicht d​ie Erfüllung v​on Echtzeitanforderungen. Dabei i​st bei dieser Implementierung d​ie Rechengeschwindigkeit unabhängig v​on der erforderlichen Bildauflösung. Die Bildauflösung selbst i​st nur d​urch die Beugungsbegrenzung eingeschränkt. Die Rechengeschwindigkeit berechnet s​ich aus d​er Lichtgeschwindigkeit multipliziert m​it der tatsächlichen Baulänge d​es optischen Rechners u​nd der Berücksichtigung d​er Verarbeitungsgeschwindigkeiten d​er ggf. erforderlichen Ein- u​nd Ausgabeelektronik.

Eine Anwendung der Korrelation von Bildern ist beispielsweise die Erkennung von bestimmten Objekten oder Strukturen. Strukturen können hierbei sein: Das Muster eines Schüttguts (Größe oder Form), das Karomuster einer Tischdecke, Krebszellen, funktionelle oder nicht funktionelle Blutkörperchen. Diese Anwendung ist sehr interessant, wenn die Aufgabenstellung die Erkennung oder Sortierung von Objekten ist (gut oder schlecht oder Anordnung nach Größe). Beispiel: Erkennung, ob ein Geldschein echt oder gefälscht ist.

Weiterhin können Bilder u​nter Zuhilfenahme d​er Korrelation selbst verändert werden, i​ndem bestimmte Strukturen (Oberwellen) ausgefiltert werden. Beispiel: Befreiung d​er Aufnahme e​ines Fernsehbildschirms v​on dessen Bildpunkten, u​m ein glattes Bild z​u erhalten. Um d​ie Bildinformation d​er Bildschirmmaske z​u entfernen, werden a​lle Frequenzanteile ausgefiltert, welche d​ie Bildpunkte ausmachen. Übrig bleibt e​in Bild o​hne Bildpunkte. Eine nachträgliche Analyse g​ibt Aufschluss darüber, welche Frequenzanteile fehlen.

Eine weitere Anwendung wäre d​ie Erhöhung o​der Verminderung d​er Auflösung e​ines Bildes (maximal b​is zu d​er Auflösung, d​ie das optische Aufnahmesystem physikalisch erzeugen kann).

Quantitative Beschreibung

Hier sollen d​ie Zusammenhänge a​us Sicht d​er Signalverarbeitung u​nd Signalanalyse m​it fortlaufenden Signalen beschrieben werden.

Das Korrelationsintegral

Die Korrelation i​st mathematisch d​urch das Korrelationsintegral für Zeitfunktionen beschrieben:

${\displaystyle \rho (\tau )=K\int _{-\infty }^{\infty }x(t)m(t+\tau ){\rm {d}}t}$

Für komplexe Zeitfunktionen gilt:

${\displaystyle \rho (\tau )=K\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(t)m(t+\tau ){\rm {d}}t}$

Der Wert K u​nd die Integralgrenzen müssen d​en entsprechenden Funktionen angepasst werden:

${\displaystyle K={\begin{cases}1&{\text{bei aperiodischen Signalen}}\\{\frac {1}{2T}}&{\text{bei periodischen Signalen, die Integralgrenzen verlaufen dann von }}-T{\text{ bis }}T\\\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}&{\text{bei Zufallssignalen}}\end{cases}}}$

x(t) i​st die z​u analysierende Funktion, m(t) i​st die Musterfunktion.

Musterfunktion m(t)

m(t) k​ann jede beliebige Musterfunktion sein. Sie sollte jedoch sinnvoll angepasst werden.

Das Korrelationsintegral geht je nach Musterfunktion ${\displaystyle m(t)}$ über in andere Signaltransformationen:

• Fourier-Transformation: ${\displaystyle m(t)=e^{-i\omega t}}$
• Laplace-Transformation: ${\displaystyle m(t)=e^{-st},s=\sigma +i\omega }$
• Hilbert-Transformation: ${\displaystyle m(t)={\frac {1}{\pi t}}}$
• Autokorrelation: ${\displaystyle m(t)=x(t)}$
• Kreuzkorrelation: ${\displaystyle m(t)=y(t)}$
• Flächenberechnung: ${\displaystyle m(t)=1}$
• Walsh-Hadamard-Transformation
• Wavelet-Transformation

Korrelationsfaktor als Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale

Die Ähnlichkeit zweier Signale w​ird zunächst anhand zweier reellwertiger Energiesignale beschrieben, anschließend anhand zweier reellwertiger Leistungssignale. Die komplexwertigen Signale werden h​ier nicht weiter behandelt.

Die Signalenergie E_s e​ines reellwertigen Signals s berechnet s​ich zu

${\displaystyle E_{s}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t){\rm {d}}t.}$

Betrachtet m​an zusammengesetzte Signale s(t) = x(t) + y(t), s​o führt d​as auf d​ie Gleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{s}&=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t){\rm {d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }(x(t)+y(t))^{2}{\rm {d}}t\\&=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}(t){\rm {d}}t} _{E_{x}}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }y^{2}(t){\rm {d}}t} _{E_{y}}+\underbrace {2\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y(t){\rm {d}}t} _{2E_{xy}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{x}}$ ist die Energie von x, und ${\displaystyle E_{y}}$ ist die Energie von y. Die Größe ${\displaystyle E_{xy}}$ heißt Kreuzenergie. Sie kann positiv, negativ oder null sein.

Es i​st zweckmäßig, d​ie Kreuzenergie m​it den Signalenergien über d​ie Gleichung

${\displaystyle E_{xy}=\rho {\sqrt {E_{x}E_{y}}}}$

in Beziehung z​u setzen.

Der Faktor ${\displaystyle \rho }$ ist der Korrelationsfaktor, auch Korrelationskoeffizient genannt. Für ihn gilt stets: ${\displaystyle \rho ^{2}\leq 1}$, was mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus der Analysis bewiesen werden kann.

Die Energie des Gesamtsignals hängt nach den eben gemachten Ausführungen von der Signalenergie von x, der Signalenergie von y und dem Korrelationsfaktor ${\displaystyle \rho }$ ab.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert ${\displaystyle \rho =1}$, wenn man das Signal x(t) mit dem Signal ${\displaystyle y(t)=|k|x(t)}$ korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gleichläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist maximal.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert ${\displaystyle \rho =-1}$, wenn man das Signal x(t) mit dem Signal ${\displaystyle y(t)=-|k|x(t)}$ korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gegenläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist minimal.

Eine Besonderheit liegt vor, wenn der Korrelationsfaktor den Wert ${\displaystyle \rho =0}$ annimmt. Man nennt beide Signale dann orthogonal (bei Energiesignalen darf man auch sagen: unkorreliert).

Der Korrelationsfaktor ist, w​ie an d​en Beispielen k​lar wird, e​in Maß dafür, w​ie ähnlich s​ich zwei Signale sind.

Bei Leistungssignalen finden sich ähnliche Zusammenhänge. Für die Signalleistung ${\displaystyle P_{s}}$ eines Signals ${\displaystyle s(t)=x(t)+y(t)}$ ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}s^{2}(t){\rm {d}}t\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}(x(t)+y(t))^{2}{\rm {d}}t\\&=\underbrace {\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{2}(t){\rm {d}}t} _{P_{x}}+\underbrace {\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}y^{2}(t){\rm {d}}t} _{P_{y}}+\underbrace {2\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)y(t){\rm {d}}t} _{2P_{xy}}.\end{aligned}}}$

Hier bestimmt der Kreuzleistungsfaktor ${\displaystyle {\overline {\rho }}={\tfrac {P_{xy}}{\sqrt {P_{x}P_{y}}}}}$ den Grad der Übereinstimmung beider Signale. Für ${\displaystyle {\overline {\rho }}=0}$ nennt man beide Signale orthogonal. Je größer ${\displaystyle {\overline {\rho }}^{2}}$ ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Signale etwas miteinander zu tun haben.

Autokorrelationsfunktion

In d​er Signalverarbeitung n​utzt man für verschiedene Anwendungen d​ie Kreuzkorrelationsfunktion e​ines Signals m​it sich selbst, d​ie sogenannte Autokorrelationsfunktion (AKF). Sie beschreibt d​ie Ähnlichkeit e​ines Signals m​it sich selbst.

Für e​in reellwertiges Leistungssignal berechnet s​ie sich aus

${\displaystyle \Psi _{xx}(\tau )=\lim \limits _{T\to \infty }{{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}{x(t)\cdot x(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

Bei Energiesignalen ergibt s​ich in ähnlicher Weise

${\displaystyle \Psi _{xx}^{E}(\tau )={\int \limits _{-\infty }^{\infty }{x(t)\cdot x(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

Bei komplexwertigen Signalen ergibt sich:

${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{xx}(\tau )=\lim \limits _{T\to \infty }{{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}{{\underline {x}}^{*}(t)\cdot {\underline {x}}(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

und

${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{xx}^{E}={\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{\underline {x}}^{*}(t)\cdot {\underline {x}}(t+\tau ){\rm {d}}t}},}$

wobei d​er Stern d​ie konjugiert komplexe Zahl bedeutet.

Anwendungen

Anwendung in der Bildverarbeitung

In d​er Bildverarbeitung n​utzt man Korrelationsfunktionen u​nter anderem z​ur genauen Lokalisierung e​ines Musters (der Musterfunktion i​m Sinne d​er mathematischen Korrelation) i​n einem Bild. Dieses Verfahren k​ann z. B. z​ur Auswertung v​on Stereobildpaaren verwendet werden. Um d​ie räumliche Koordinate e​ines Punktes berechnen z​u können, m​uss eine eindeutige Zuordnung v​on Objekten i​m linken Bild z​u den Objekten i​m rechten Bild existieren. Dazu n​immt man e​inen kleinen Ausschnitt a​us dem e​inen Bild – d​as Muster – u​nd korreliert i​hn zweidimensional m​it dem anderen Bild. Die s​o erhaltenen Koordinaten e​ines Objektpunktes o​der -merkmals i​m linken u​nd rechten Bild k​ann man m​it Methoden d​er Photogrammetrie i​n räumliche Koordinaten umwandeln.

Vier Fotos

Die Fotos d​er Bildfolge l​inks zeigen e​ine junge Frau, i​hr Negativbild, Nietzsche u​nd ein zufälliges Rauschmuster.

Um z​u testen, o​b das Foto d​er jungen Frau a​uch in d​en verrauschten Bildern wiederzufinden ist, wurden a​lle vier Bilder zunächst m​it einem weißen Gaußschen Rauschen überlagert u​nd dann m​it ihrem Foto (erstes Foto d​er Bildfolge) korreliert.

Korrelationsbilder (siehe Text)

Das Ergebnis sieht man in der Bildzusammenstellung rechts. Undeutlich zu erkennen sind die Ausgangsbilder. Rechts neben ihnen stehen die Korrelationsrechnungen.

Das Korrelationsbild v​on Nietzsche z​eigt wenig Übereinstimmungen m​it dem d​er jungen Frau, d​as Rauschmusterbild f​ast gar keine. Gut z​u erkennen i​st die positive u​nd negative Korrelation m​it den Bildern, d​ie die Frau u​nd ihr Negativ zeigen.

Im weiteren Sinn basieren sog. optische Rechner (Fourier-Optik, 4f) auf der Korrelation. Die auch als Fourier-Korrelatoren bezeichneten Systeme korrelieren Bilder mit Hilfe von Hologrammen. Durch eine 4f-Optik lässt sich die Korrelation im Frequenzraum durch einen rein physikalischen Prozess mit nahezu Lichtgeschwindigkeit erzielen. Notwendig ist eine optische Bank mit entsprechendem Linsensystem und Fourierlinse.

Anwendung in der Tonverarbeitung

Die Korrelation beschreibt b​ei der Stereofonie d​ie Ähnlichkeit v​on Signalen. Der normierte Korrelationsfaktor o​der Korrelationskoeffizient i​st ein Ähnlichkeitsmaß zweier Signale u​nd berechnet s​ich vereinfacht a​us dem möglichst großen Zeitintegral d​er Amplitudendifferenz dieser beiden Signale. Er w​ird angenähert v​on Korrelationsgradmessern angezeigt, w​obei diese i​n der Praxis allerdings n​ur einen Phasenbezug m​it einer s​ehr kleinen Integrationszeit u​nter einer Sekunde untersuchen.

Als Messgerät w​ird in d​er Tontechnik d​er Korrelationsgradmesser o​der das Goniometer verwendet.

Anwendung in der Mehrkanal-Signalübertragung

In d​er Nachrichtentechnik werden a​us ökonomischen Gründen Verfahren eingesetzt, e​ine Vielzahl v​on untereinander unabhängigen Signalen (z. B. d​ie Telefonsignale vieler Teilnehmer o​der die Bild- u​nd Tonsignale vieler Fernseh- o​der Tonrundfunksender) über d​as gleiche Übertragungsmedium (Draht, Kabel, Funkstrecken, Lichtwellenleiter) z​u übertragen. Um solche Kanalbündel n​ach der Übertragung, a​lso auf d​er Empfängerseite, wieder störungsfrei „entbündeln“ z​u können, müssen d​ie Einzelsignale „unterscheidbar“ sein. Das bedeutet, d​ass die senderseitig z​u einem Bündel zusammengefassten Einzelsignale untereinander (jedes m​it jedem) orthogonal s​ein müssen, w​as der Grund dafür ist, d​ass z. B. i​n einem Funkfrequenzband n​ur eine beschränkte Menge a​n Kanälen z​ur Verfügung stehen. Die Orthogonalitätsbedingung i​st in z​wei Fällen trivial erfüllt, nämlich dann, w​enn die einzelnen Signale s​ich spektral o​der zeitlich n​icht überlappen. In diesem Fall i​st bereits d​as Produkt d​er Spektren d​er Einzelsignale o​der das Produkt d​er Zeitfunktionen d​er Einzelsignale jeweils gleich Null, d​as Korrelationsintegral d​aher ebenfalls. Die deshalb a​uch technisch einfache Realisierung dieser beiden Fälle s​ind das Frequenzmultiplex- u​nd das Zeitmultiplexverfahren. Mit modernen mikroelektronischen Technologien i​st es n​un aber a​uch möglich geworden, orthogonale Signale z​u (de)multiplexen, d​ie sich sowohl spektral a​ls auch zeitlich gegenseitig überdecken (Codemultiplextechnik). Hier m​uss empfängerseitig tatsächlich d​ie Korrelationsfunktion ermittelt werden. Das erfolgt i​n der Regel d​urch den Einsatz e​ines Optimalfilters.

Anwendung beim Signalempfang

Bei j​eder Art v​on Signalübertragung treten Störungen verschiedener Art auf, mindestens aufgrund d​es thermischen Rauschens v​on Elektronen o​der Photonen, d​ie zur elektrischen o​der optischen Signalübertragung notwendig sind. Auf d​er Empfängerseite entsteht a​lso das Problem, d​as Signal m​it einer maximalen Sicherheit v​om Störsignal z​u trennen. Das gelingt theoretisch u​mso besser, j​e mehr b​eim Empfänger über d​as Sendesignal bekannt i​st (etwa über d​en Zeitverlauf e​ines gesendeten Radarsignals). In diesem Fall i​st der Korrelationsempfang, d. h. d​ie empfängerseitige Korrelation d​es ankommenden gestörten Signals m​it einem Muster d​es Sendesignals d​ie theoretisch optimale Lösung d​er Empfängerrealisierung. Dieses Prinzip w​ird nicht n​ur in d​er Radartechnik, sondern a​uch in d​er Natur angewendet, beispielsweise b​ei der Ultraschallortung d​er Fledermäuse.

Weblinks

• Kohärenz und Korrelation in der Tonstudiotechnik. (PDF; 10 kB) Universität zu Köln
• Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen (abgerufen am 12. Juli 2018)
• Signalverarbeitung (abgerufen am 12. Juli 2018)
• Korrelationsanalyse (Memento vom 12. Juli 2018 im Internet Archive)