Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz i​st eine analytische Methode z​ur exakten Berechnung v​on eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe[1] d​iese Methode z​ur Berechnung d​er exakten Eigenwerte (Eigenenergien) u​nd Eigenvektoren d​es eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt d​abei die Parameterisierung d​er Eigenvektoren a​ls Ansatz für d​ie Lösung d​es Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten d​es Bethe-Ansatzes führen z​ur exakten Lösung d​es Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 v​on Paul Wiegmann[2] u​nd Natan Andrei[3] gefunden wurde, u​nd des Anderson model (P.B. Wiegmann[4] u​nd N. Kawakami, A. Okiji[5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell

Der Bethe-Ansatz w​urde ursprünglich für d​as eindimensionale Heisenberg-Modell m​it nächster Nachbarwechselwirkung u​nd periodischen Randbedingungen entwickelt:

${\displaystyle H=-J\sum _{n=1}^{N}{\vec {S}}_{n}\cdot {\vec {S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})+S_{n}^{z}S_{n+1}^{z}\right]}$

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante ${\displaystyle J}$ ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

${\displaystyle J{\begin{cases}>0&{\text{Ferromagnet}}\\<0&{\text{Anti-Ferromagnet}}\\\end{cases}}}$

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in ${\displaystyle z}$-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

${\displaystyle |F\rangle =|\uparrow \uparrow \uparrow ...\uparrow \rangle }$

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$ angegeben als:

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\rangle =|\uparrow \uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{1}}\uparrow ..\uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{2}}\uparrow ...\uparrow \rangle }$

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der ${\displaystyle S_{z}}$-Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher ${\displaystyle S_{z}}$-Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit ${\displaystyle r}$ umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}a(n)|n\rangle }$

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung ${\displaystyle H|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$. Mittels Koeffizientenvergleich findet man ${\displaystyle N}$ linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten ${\displaystyle a(n)}$:

${\displaystyle 2[E-E_{0}]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)]}$

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen ${\displaystyle a(n+N)=a(n)}$ erfüllen, sind ebene Wellen:

${\displaystyle a(n)=e^{ikn},\qquad k={\frac {2\pi }{N}}m\qquad {\text{mit}}\quad m=0,1,...N-1}$

Damit s​ind die Eigenvektoren bestehend a​us Superpositionen v​on Zuständen m​it lediglich e​inem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände f​olgt aus d​er Schrödingergleichung:

${\displaystyle E-E_{0}=J(1-cos(k))}$

Der nächste Schritt besteht darin, s​ich Superpositionen a​us Zuständen m​it zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2

Der Ansatz für d​ie Eigenvektoren lautet:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n1<n2}^{N}a(n_{1},n_{2})|n_{1},n_{2}\rangle }$

Bethes Ansatz für die Koeffizienten ${\displaystyle a(n_{1},n_{2})}$ sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$:

${\displaystyle a(n_{1},n_{2})=A_{1}e^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2})}+A_{2}e^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1})}}$

Die Parameter ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=e^{i\theta }=-{\frac {e^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2e^{ik_{1}}}{e^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2e^{ik_{2}}}}}$

welches m​an in d​en Ansatz für d​ie Koeffizienten hinzufügt:

${\displaystyle a(n_{1},n_{2})=e^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+{\frac {1}{2}}\theta _{12})}+e^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1}+{\frac {1}{2}}\theta _{21})}}$

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ und der Winkel ${\displaystyle \theta =\theta _{12}=-\theta _{2,1}}$ folgende Gleichungen erfüllen müssen:

${\displaystyle 2\cot {\frac {\theta }{2}}=\cot {\frac {k_{1}}{2}}-\cot {\frac {k_{2}}{2}}\qquad Nk_{1}=2\pi \lambda _{1}+\theta \qquad Nk_{2}=2\pi \lambda _{2}-\theta }$

wobei die ganzen Zahlen ${\displaystyle \lambda _{i}={0,1...N}}$ Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für ${\displaystyle r=2}$ bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

${\displaystyle E-E_{0}=J\sum _{j=1,2}(1-\cos(k_{j}))}$

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit ${\displaystyle r}$ umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit ${\displaystyle r}$ umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n1<n2<..<n_{r}}^{N}a(n_{1},n_{2},..,n_{r})|n_{1},n_{2},..,n_{r}\rangle }$

mit d​en Koeffizienten:

${\displaystyle a(n_{1},..n_{r})=\sum _{P\in S_{r}}\exp \left(i\sum _{j=1}^{r}k_{P_{j}}n_{j}+i\sum _{i<j}\theta _{P_{i}P_{j}}\right)}$

Die Summe läuft dabei über alle möglichen ${\displaystyle r!}$ Permutationen der Zahlen ${\displaystyle {1,..,r}}$. Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2\cot {\frac {\theta _{ij}}{2}}&=\cot {\frac {k_{i}}{2}}-\cot {\frac {k_{j}}{2}}&\qquad {\text{mit}}\quad &i,j=1..r\\Nk_{i}&=2\pi \lambda _{i}+\sum _{j\neq i}\theta _{ij}&&\lambda _{i}={1,..,N-1}\end{alignedat}}}$

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen ${\displaystyle (\lambda _{1},..\lambda _{r})}$, die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

${\displaystyle (E-E_{0})=J\sum _{j=1}^{r}(1-\cos k_{j})}$

angegeben werden.

Weblinks

• Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)

Quellen

1. H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226. doi:10.1007/BF01341708.
2. P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
3. N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett.. 45, Nr. 5, August 1980, S. 379–382. doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
4. P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167. doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
5. Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86, Nr. 9, 1981, S. 483–486. doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.