Graßmann-Mannigfaltigkeit

Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) s​ind in d​er Mathematik e​in grundlegender Begriff sowohl d​er Differentialgeometrie a​ls auch d​er algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren d​ie Unterräume e​ines Vektorraumes u​nd stellen d​amit eine Verallgemeinerung d​es projektiven Raumes dar. Benannt s​ind sie n​ach Hermann Graßmann.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Dann bezeichnet

${\displaystyle Gr(r,V)}$

die Menge der ${\displaystyle r}$-dimensionalen Untervektorräume von ${\displaystyle V}$. Falls ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$-dimensional ist, bezeichnet man ${\displaystyle Gr(r,V)}$ auch mit

${\displaystyle Gr(r,n)}$.

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe

Im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ wirkt die orthogonale Gruppe

${\displaystyle O(n)}$

auf ${\displaystyle Gr(r,n)}$ durch

${\displaystyle (A,W)\rightarrow A(W)}$.

Die Wirkung i​st transitiv, d​ie Stabilisatoren s​ind konjugiert zu

${\displaystyle O(r)\times O(n-r)}$.

Man erhält also eine Bijektion zwischen ${\displaystyle Gr(r,n)}$ und dem homogenen Raum

${\displaystyle O(n)/(O(r)\times O(n-r))=\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )/(\operatorname {GL} (r,\mathbb {R} )\times \operatorname {GL} (n-r,\mathbb {R} ))}$.

Im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ wirkt die unitäre Gruppe ${\displaystyle U(n)}$ transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

${\displaystyle U(n)/(U(r)\times U(n-r))=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )/(\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )\times \operatorname {GL} (n-r,\mathbb {C} ))}$.

Analog erhält man für beliebige Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ eine Bijektion zwischen ${\displaystyle Gr(r,n)}$ und

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )/(\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )\times \operatorname {GL} (n-r,\mathbb {K} ))}$.

Topologie

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der ${\displaystyle r}$-dimensionalen Unterräume im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) bezeichnet man ${\displaystyle Gr(r,n)}$ mit der durch die Identifikation mit

${\displaystyle O(n)/(O(r)\times O(n-r))}$

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Gr(r,n)}$ bezeichnet man entsprechend

${\displaystyle U(n)/(U(r)\times U(n-r))}$.

Die kanonische Inklusion ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\subset \mathbb {K} ^{n+1}}$ induziert eine Inklusion ${\displaystyle Gr(r,n)\subset Gr(r,n+1)}$. Man definiert

${\displaystyle Gr(r,\infty ):=\lim _{n}Gr(r,n)}$

als induktiven Limes der ${\displaystyle Gr(r,n)}$ mit der Limes-Topologie.

Algebraische Varietät

Grassmann-Mannigfaltigkeiten s​ind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

Tautologisches Bündel

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {K} ^{n}}$ der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

${\displaystyle \gamma ^{r}:=\left\{(W,x)\in Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }:x\in W\right\}\subset Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }}$.

Dann i​st die Projektion a​uf den ersten Faktor e​in Vektorbündel

${\displaystyle \gamma ^{r}\rightarrow Gr(r,\infty )}$,

welches a​ls tautologisches o​der universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

Klassifizierende Abbildung

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel ${\displaystyle E\rightarrow B}$ gibt es eine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon B\rightarrow Gr(r,\infty )}$,

so dass ${\displaystyle E}$ das Pullback des tautologischen Bündels ${\displaystyle \gamma ^{r}}$ unter ${\displaystyle f}$ ist.

Im Fall des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass ${\displaystyle M}$ eine Untermannigfaltigkeit eines ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ist. Die Tangentialebene ${\displaystyle T_{x}M}$ in einem Punkt ${\displaystyle x\in M}$ ist dann von der Form

${\displaystyle T_{x}M=x+W_{x}}$

für einen Untervektorraum ${\displaystyle W_{x}\subset \mathbb {R} ^{m}}$. Die Zuordnung

${\displaystyle x\rightarrow W_{x}}$

definiert e​ine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon M\rightarrow Gr(r,m)\subset Gr(r,\infty )}$

und m​an kann zeigen, dass

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{r}=TM}$

ist.

Klassifizierender Raum für Prinzipalbündel

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Gr(r,\infty )}$ ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen ${\displaystyle O(r)}$. Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$, denn weil die Inklusion ${\displaystyle O(r)\rightarrow \operatorname {GL} (r)}$ eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$-Bündel auf die Strukturgruppe ${\displaystyle O(r)}$ reduzieren. Es gilt also:

${\displaystyle Gr(r,\infty )\simeq \operatorname {BGL} (r,\mathbb {K} )\simeq \operatorname {BO} (r,\mathbb {K} )}$.

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V(r,\infty )}$ nach ${\displaystyle G(r,\infty )}$, welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle ${\displaystyle O(r)}$-Bündel. (Das tautologische Bündel ${\displaystyle \gamma ^{r}}$ ergibt sich aus dem universellen ${\displaystyle O(r)}$-Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von ${\displaystyle O(r)}$ auf dem Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$.)

Der Kolimes d​er Folge v​on Inklusionen

${\displaystyle Gr(1,2)\subset Gr(2,4)\subset \ldots \subset Gr(n,2n)\subset \ldots }$

wird als ${\displaystyle \operatorname {BGL} (\mathbb {K} )}$ oder ${\displaystyle \operatorname {BO} (\mathbb {K} )}$ bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen

${\displaystyle \mathrm {BO}$ :=\operatorname {BO} (\mathbb {R} ),\;\mathrm {BU} :=\operatorname {BO} (\mathbb {C} )} .

Mittels Bott-Periodizität k​ann man d​ie Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

Schubert-Kalkül

Das Cup-Produkt i​m Kohomologiering d​er Graßmann-Mannigfaltigkeiten k​ann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.

Siehe auch

• Stiefel-Mannigfaltigkeit
• Fahnenmannigfaltigkeit

Weblinks

• Grassmann manifold. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Grassmann Manifold. In: MathWorld (englisch).