Tangentialebene

Die Tangentialebene in einem Punkt ${\displaystyle P}$ an eine Fläche ${\displaystyle F}$ im dreidimensionalen Raum ist diejenige Ebene, die die Fläche in der Umgebung des Punktes ${\displaystyle P}$ am besten annähert (berührt). Sie ist damit die zweidimensionale Entsprechung zur Tangente einer Kurve. Wie im Fall der Kurve existiert eine Tangentialebene nur, wenn die Fläche hinreichend „glatt“ ist. Dies gilt zum Beispiel für die Graphen von differenzierbaren Funktionen von zwei Variablen. Eine Fläche, die einen Knick oder eine Spitze hat – zum Beispiel ein Kegel – besitzt in diesen Punkten keine Tangentialebene.

Tangentialebene an eine Fläche

Eine Ebene ist durch einen Punkt (in diesem Fall der Berührpunkt ${\displaystyle P}$ ) und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren oder durch einen Punkt und einen Normalenvektor bestimmt. Je nachdem, wie eine gegebene Fläche beschrieben wird (implizit, explizit oder parametrisiert, s. u.) wird man entweder Richtungsvektoren oder einen Normalenvektor bestimmen.

Die Tangentialebene bildet den zweidimensionalen Spezialfall eines Tangentialraums einer Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Veranschaulichung der Definition. Hier heißt die Fläche M und der Berührungspunkt x.

Formale Definition

Es sei ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{3}}$ eine reguläre Fläche und ${\displaystyle p_{0}\in F}$ ein Punkt.

Die Tangentialebene an ${\displaystyle F}$ im Punkt ${\displaystyle p_{0}}$ ist die Ebene durch ${\displaystyle p_{0}}$ , die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch ${\displaystyle p}$ verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist die Funktion ${\displaystyle \gamma \colon (-1,1)\to F}$ ein Weg mit ${\displaystyle \gamma (0)=p_{0}}$ , so ist ${\displaystyle p_{0}+{\dot {\gamma }}(0)}$ ein Punkt der Tangentialebene. Da die Tangentialebene zweidimensional ist, genügen zwei solcher Wege (in verschiedene Richtungen), um die Tangentialebene aufzuspannen.

Tangentialebene an den Graphen einer Funktion

Paraboloid

Die Fläche ${\displaystyle F}$ ist als Graph

${\displaystyle F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z=f(x,y)\}}$

einer Funktion ${\displaystyle f}$ von zwei Veränderlichen ${\displaystyle x,y}$ gegeben. Gesucht ist die Tangentialebene an die Fläche in einem Punkt ${\displaystyle p_{0}=(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))}$ . Falls die Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ differenzierbar ist mit den partiellen Ableitungen ${\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0}),\ f_{y}(x_{0},y_{0})}$ , liefert das Taylorpolynom erster Ordnung

${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$

eine Gleichung d​er gesuchten Tangentialebene. Die Tangentialebene i​st somit d​er Graph d​er affin-linearen Funktion

${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$ .

Beispiel: Die Fläche ${\displaystyle F}$ (ein Paraboloid) ist gegeben als Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+2y^{2}}$ . Es sei ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(3,4)}$ . Mit ${\displaystyle f_{x}(x,y)=2x}$ und ${\displaystyle f_{y}(x,y)=4y}$ ergibt sich

${\displaystyle z=41+6(x-3)+16(y-4)}$ bzw.

${\displaystyle z=6x+16y-41}$

als Gleichung der gesuchten Tangentialebene im Flächenpunkt ${\displaystyle (3,4,41)}$ .

Tangentialebene an eine implizit gegebene Fläche

Ellipsoid

In diesem Fall i​st die Fläche a​ls Niveaufläche

${\displaystyle F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid f(x,y,z)=0\}}$

einer Funktion ${\displaystyle f}$ von 3 Variablen gegeben. Zum Beispiel ist die Einheitskugel durch die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

gegeben. Es sei ${\displaystyle p_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ein Punkt der Fläche d. h. es ist ${\displaystyle f(x_{0},y_{0},z_{0})=0}$ . Falls ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle p_{0}}$ differenzierbar ist und

${\displaystyle \operatorname {grad} f(p_{0})=(f_{x}(p_{0}),f_{y}(p_{0}),f_{z}(p_{0}))\neq (0,0,0)}$

gilt, so wird die Tangentialebene im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ durch die Gleichung

${\displaystyle f_{x}(p_{0})(x-x_{0})+f_{y}(p_{0})(y-y_{0})+f_{z}(p_{0})(z-z_{0})=0}$

dargestellt. Begründung: Der Vektor ${\displaystyle \operatorname {grad} f(p_{0})}$ zeigt in die Richtung der stärksten Zunahme von ${\displaystyle f}$ und muss damit ein Normalenvektor der gesuchten Tangentialebene sein.

Beispiel: Die Fläche ${\displaystyle F}$ ist ein Ellipsoid mit der Gleichung

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+4z^{2}-1=0}$ ,

gesucht ist die Tangentialebene von ${\displaystyle F}$ im Punkt ${\displaystyle p_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\tfrac {1}{\sqrt {8}}})}$ . Es gilt ${\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y,z)=(2x,4y,8z)}$ und die gesuchte Tangentialebene hat die Koordinatengleichung

${\displaystyle {\sqrt {2}}(x-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}})+{\sqrt {8}}(z-{\tfrac {1}{\sqrt {8}}})=0}$ bzw.

${\displaystyle x+2z-{\sqrt {2}}=0}$ .

Tangentialebene einer parametrisierten Fläche

Affensattel

In diesem Fall ist die Fläche durch eine Parameterdarstellung ${\displaystyle (x,y,z)={\vec {S}}(u,v)}$ gegeben. Ist die Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {S}}(u,v)}$ in einem Parameterpunkt ${\displaystyle (u_{0},v_{0})}$ differenzierbar und sind die Ableitungsvektoren ${\displaystyle {\vec {S}}_{u}(u_{0},v_{0}),{\vec {S}}_{v}(u_{0},v_{0})}$ linear unabhängig, so ist

${\displaystyle (x,y,z)={\vec {S}}(u_{0},v_{0})+{\vec {S}}_{u}(u_{0},v_{0})(u-u_{0})+{\vec {S}}_{v}(u_{0},v_{0})(v-v_{0})}$

eine Parameterdarstellung der Tangentialebene im Punkt ${\displaystyle p_{0}={\vec {S}}(u_{0},v_{0})}$ .

Beispiel: ${\displaystyle {\vec {S}}(u,v)=(u,v,u^{3}-3uv^{2})}$ ist eine Parameterdarstellung des Affensattels. Mit ${\displaystyle S_{u}(u,v)=(1,0,3u^{2}-3v^{2})}$ und ${\displaystyle S_{v}(u,v)=(0,1,-6uv)}$ ergibt sich für die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\\u_{0}^{3}-3u_{0}v_{0}^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\3u_{0}^{2}-3v_{0}^{2}\end{pmatrix}}(u-u_{0})+{\begin{pmatrix}0\\1\\-6u_{0}v_{0}\end{pmatrix}}(v-v_{0})}$ .

Bemerkung: Das Beispiel des Affensattels zeigt, dass eine Fläche durchaus auf mehrere Möglichkeiten dargestellt werden kann: 1) parametrisiert wie hier eingeführt, 2) als Graph der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}}$ und schließlich 3) implizit durch ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{3}-3xy^{2}-z=0}$ .

Schnitt einer Tangentialebene mit der Fläche

Es g​ibt Flächen, d​ie in d​er Nähe e​ines Punktes a​uf einer Seite d​er Tangentialebene i​n diesem Punkt liegen. Z.B.: Paraboloid u​nd Ellipsoid (s. o.) o​der Zylinder. Allerdings i​st es a​uch möglich, d​ass die Fläche i​n der Nähe e​ines Punktes a​uf beiden Seiten d​er Tangentialebene i​n diesem Punkt liegt. Z.B. Affensattel o​der hyperbolisches Paraboloid. Ist d​ie Gauß-Krümmung i​n einem Flächenpunkt n​icht Null, s​o gilt: b​ei positiver Gaußkrümmung t​ritt der e​rste Fall (Fläche a​uf einer Seite) u​nd bei negativer Gaußkrümmung d​er zweite Fall (Fläche a​uf beiden Seiten) ein. Ist d​ie Gaußkrümmung Null, s​o sind b​eide Fälle möglich. Z.B.: Zylinder überall o​der Affensattel i​m Nullpunkt.

Anwendungen

Überall, w​o die Beschreibung e​iner Fläche für Berechnungen z​u kompliziert ist, verwendet m​an Tangentialebenen a​ls Ersatz für d​ie gegebene Fläche, z. B. bei

• der Bestimmung von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen (Newton-Verfahren),
• der Bestimmung von Umrisspunkten einer Fläche: Die Projektionsrichtung liegt in der Tangentialebene eines Umrisspunktes,
• Abbildungen (Projektionen von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für Karten notwendig ist).

Literatur

• Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 380, 392, 468
• Do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg-Verlag, 1983