Tautologisches Bündel

In d​en mathematischen Gebieten d​er Topologie u​nd Geometrie i​st das tautologische Bündel a​uf einem projektiven Raum e​in Objekt, d​as jedem Punkt d​ie Gerade zuordnet, a​us der e​r entstanden ist.

Definition

Das tautologische Bündel über einem projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ zu einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist das Geradenbündel, dessen Faser in einem Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {P} (V)}$ der ${\displaystyle x}$ entsprechende eindimensionale Unterraum von ${\displaystyle V}$ ist. Es ist ein Unterbündel des trivialen Bündels ${\displaystyle \mathbb {P} (V)\times V}$ .

Analog lässt sich auf der Graßmannschen der ${\displaystyle k}$ -dimensionalen Unterräume eines Vektorraumes das tautologische Bündel definieren; es ist ein Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle k}$ .

Eigenschaften

• Die Picardgruppe der Geradenbündel auf ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ist unendlich zyklisch, und das tautologische Bündel ist ein Erzeuger.
• Die Garbe der Schnitte des tautologischen Bündels ist invers zu Serres Twistinggarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ .

Siehe auch

• Topologische K-Theorie

Literatur

• Phillip Griffiths, Joe Harris: Principles of algebraic geometry. Wiley, New York NY u. a. 1994, ISBN 0-471-05059-8.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics 52). Springer-Verlag, Berlin u. a. 1977, ISBN 0-387-90244-9.