Fahnenmannigfaltigkeit

In d​er Mathematik i​st eine Fahnenmannigfaltigkeit d​er Raum d​er vollständigen Fahnen i​n einem Vektorraum o​der allgemeiner d​er Quotient e​iner halbeinfachen algebraischen Gruppe n​ach einer borelschen Untergruppe. Fahnenmannigfaltigkeiten s​ind projektive Varietäten.

Fahnenmannigfaltigkeit eines Vektorraums

Eine vollständige Fahne in einem endlichdimensionalen (reellen oder komplexen) Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist eine Folge

${\displaystyle (V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n})}$

von Untervektorräumen von ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle V_{0}=0}$ und ${\displaystyle V_{n}=V}$, so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{n}}$

und s​o dass

${\displaystyle \dim V_{i}=i}$

für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ gilt, insbesondere also ${\displaystyle n=\dim(V)}$.

Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ wirkt transitiv auf der Menge aller vollständigen Fahnen, die Stabilisatoren einer Fahne sind konjugiert zur Gruppe ${\displaystyle B}$ der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. Es gibt also eine Bijektion zwischen ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)/B}$ und der Menge aller vollständigen Fahnen. Deshalb wird

${\displaystyle {\mathcal {F}}l(V):=\operatorname {GL} (V)/B}$

als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet.

Die kanonische Einbettung i​n das Produkt v​on Graßmann-Mannigfaltigkeiten

${\displaystyle {\mathcal {F}}l(V)\subset Gr(1,n)\times Gr(2,n)\times \ldots \times Gr(n,n)}$

macht d​ie Fahnenmannigfaltigkeit z​u einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit u​nd (vermittels d​er Plücker-Einbettung d​er Graßmann-Mannigfaltigkeiten) z​u einer projektiven Varietät.

Verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeiten

Es sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Liegruppe und ${\displaystyle B\subset G}$ eine Borel-Gruppe, d. h. eine minimale parabolische Untergruppe von ${\displaystyle G}$. Dann heißt der homogene Raum ${\displaystyle G/B}$ verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeit. Falls ${\displaystyle G}$ eine algebraische Gruppe ist, ist ${\displaystyle G/B}$ eine projektive Varietät.

Die obigen Beispiele der Fahnenmannigfaltigkeiten eines Vektorraums erhält man für ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ und ${\displaystyle B}$ die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Literatur

• Charles Ehresmann: Sur la topologie de certains espaces homogènes. Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 396–443.
• Shiing-Shen Chern: On the characteristic classes of complex sphere bundles and algebraic varieties. Amer. J. Math. 75, (1953). 565–597.
• Armand Borel: Cohomologie des espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1, Exp. No. 45, 371–378, Soc. Math. France, Paris, 1995.
• D. V. Alekseevsky: Flag manifolds. 11th Yugoslav Geometrical Seminar (Divčibare, 1996). Zb. Rad. Mat. Inst. Beograd. (N.S.) 6(14) (1997), 3–35. online (PDF; 1,2 MB)

Weblinks

• Flag Manifold (MathWorld)
• Flag Variety (nLab)
• What are flag manifolds and why are they interesting? (Australian Mathematical Society Web Site - the Gazette)
• Brion: Lectures on the geometry of flag varieties