Klassifizierender Raum

In d​er Mathematik werden m​it Hilfe d​es klassifizierenden Raumes u​nd des universellen Bündels e​iner topologischen Gruppe G d​ie Prinzipalbündel m​it G a​ls Strukturgruppe klassifiziert. Der klassifizierende Raum u​nd das universelle Bündel s​ind durch e​ine universelle Eigenschaft charakterisiert, e​ine explizite Konstruktion g​eht auf John Milnor zurück. Bündel u​nd ihre Klassifikation spielen e​ine wichtige Rolle i​n Mathematik u​nd Theoretischer Physik.

Universelles Bündel

Ein ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \xi \colon EG\to BG}$ heißt universelles Bündel, wenn man alle (numerierbaren) ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel durch Zurückziehen des universellen Bündels gewinnen kann; formal: wenn es die folgende universelle Eigenschaft für numerierbare G-Prinzipalbündel[1] hat:

• Für jedes numerierbare ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ gibt es eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to BG}$ so dass die Bündel ${\displaystyle f^{*}\xi }$ und ${\displaystyle \pi }$ isomorph sind.
• Für zwei Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon X\to BG}$ sind die Bündel ${\displaystyle f^{*}\xi ,g^{*}\xi }$ genau dann isomorph, wenn ${\displaystyle f,g}$ homotop sind.

Man h​at also e​ine Bijektion

${\displaystyle \left\{G{\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}=\left[X,BG\right]}$,

wobei ${\displaystyle \left[X,BG\right]}$ die Homotopieklassen von Abbildungen ${\displaystyle X\to BG}$ bezeichnet.

Die Basis eines universellen ${\displaystyle G}$-Bündels heißt klassifizierender Raum ${\displaystyle BG}$ der topologischen Gruppe ${\displaystyle G}$. Mittels allgemeinen Unsinns kann man leicht zeigen, dass ${\displaystyle BG}$ (wenn ein universelles Bündel existiert) bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt ist. Die folgende, auf Milnor zurückgehende Konstruktion beweist auch die Existenz des klassifizierenden Raumes.

Milnor-Konstruktion

Der unendliche Verbund ${\displaystyle EG=G*G*\ldots *G*\ldots }$ abzählbar vieler Kopien der topologischen Gruppe ${\displaystyle G}$ wird als Milnor-Raum bezeichnet. Die Elemente sind von der Form ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}t_{i}g_{i}}$ mit ${\displaystyle \textstyle g_{i}\in G,t_{i}\in \left[0,1\right],\sum _{i}t_{i}=1}$ und nur endlich viele ${\displaystyle t_{i}\not =0}$. (Man beachte ${\displaystyle 0g_{i}=0g_{i}^{\prime }}$ auch für ${\displaystyle g_{i}\not =g_{i}^{\prime }}$.)

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt auf dem Milnor-Raum ${\displaystyle EG}$ durch ${\displaystyle \textstyle (\sum _{i}t_{i}g_{i})g=\sum _{i}t_{i}(g_{i}g)}$. Der Quotient ${\displaystyle BG:=EG/G}$ ist der klassifizierende Raum der Gruppe ${\displaystyle G}$, das Prinzipalbündel

${\displaystyle \xi \colon EG\to BG}$

ist d​as universelle Bündel.

Für verschiedene Lie-Gruppen, zum Beispiel ${\displaystyle O(n)}$ und ${\displaystyle U(n)}$ gibt es einfachere Realisierungen des klassifizierenden Raumes durch Graßmann-Mannigfaltigkeiten, siehe unten.

Allgemein gibt jede freie Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf einem zusammenziehbaren Raum ${\displaystyle E}$ einen Quotienten ${\displaystyle B=E/G}$, der ein klassifizierender Raum ${\displaystyle BG}$ (und damit insbesondere zu obiger Konstruktion homotopieäquivalent) ist. Die Quotientenabbildung ${\displaystyle E\to B}$ ist dann ein universelles ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel.

Topologie des klassifizierenden Raumes

${\displaystyle EG}$ ist zusammenziehbar. Für die Homotopiegruppen von ${\displaystyle BG}$ gilt

${\displaystyle \pi _{i}(BG)=\pi _{i-1}(G)}$.

Insbesondere gilt für mit der diskreten Topologie versehene Gruppen ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle \pi _{1}(B\Gamma )=\Gamma }$

${\displaystyle \pi _{i}(B\Gamma )=0}$ für ${\displaystyle i\not =1}$.

Der klassifizierende Raum e​iner diskreten Gruppe i​st also e​in Eilenberg-MacLane-Raum.

Wenn ${\displaystyle K\to G}$ eine Homotopieäquivalenz ist, dann ist auch ${\displaystyle BK\to BG}$ eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist ${\displaystyle BO(n)}$ homotopieäquivalent zu ${\displaystyle BGL(n,\mathbb {R} )}$.

Beispiele klassifizierender Räume

Die folgende Liste gibt Beispiele klassifizierender Räume ${\displaystyle BG}$ mit zugehörigem Totalraum (des universellen Bündels) ${\displaystyle EG}$. Man beachte, dass für topologische Gruppen i.a. ${\displaystyle BG}$ nicht mit ${\displaystyle BG_{\delta }}$ (dem klassifizierenden Raum für dieselbe Gruppe mit der diskreten Topologie) übereinstimmt.

• ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=L_{n}^{\infty }}$ mit Totalraum ${\displaystyle S^{\infty }}$ (Insbesondere ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {R} P^{\infty }}$)

• ${\displaystyle B\mathbb {Z} =S^{1}}$ mit Totalraum ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle BS^{1}=\mathbb {C} P^{\infty }}$ mit Totalraum ${\displaystyle S^{\infty }}$

• ${\displaystyle B(F_{2})=S^{1}\vee S^{1}}$ mit Totalraum ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ (unendlicher Baum vom Grad 4)

• ${\displaystyle BO(n)=BGL_{n}(\mathbb {R} )=G_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ mit Totalraum ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$

• ${\displaystyle B\mathbb {R} =\lbrace pt.\rbrace }$ mit Totalraum ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle B\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\;|\;\prod _{i=1}^{g}[a_{i},b_{i}]\rangle =S_{g}}$ mit Totalraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (hyperbolische Ebene)

• ${\displaystyle B(G_{1}\times G_{2})=BG_{1}\times BG_{2}}$

Vektorbündel

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle r}$ hat man das Rahmenbündel als ${\displaystyle GL(r,\mathbb {R} )}$-Bündel über derselben Basis. Insbesondere ist ${\displaystyle BGL(r,\mathbb {R} )}$, und wegen der Homotopieäquivalenz ${\displaystyle BO(r)\simeq BGL(r,\mathbb {R} )}$ auch ${\displaystyle BO(r)}$, ein klassifizierender Raum für reelle Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle r}$. Entsprechend ist ${\displaystyle BU(r)\simeq BGL(r,\mathbb {C} )}$ ein klassifizierender Raum für komplexe Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle r}$.

Die Graßmann-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle Gr_{\mathbb {K} }(r,\infty )}$ für ${\displaystyle {\mathbb {K} }=\mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle {\mathbb {K} }=\mathbb {C} }$ sind explizite Realisierungen der klassifizierenden Räume ${\displaystyle BO(r)}$ bzw. ${\displaystyle BU(r)}$.

Analog können orientierte Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle r}$ durch das universelle Bündel über ${\displaystyle BSO(r)=Gr^{+}(r,\infty )}$, der Graßmann-Mannigfaltigkeit der orientierten Untervektorräume klassifiziert werden.

Charakteristische Klassen

Kohomologieklassen e​ines klassifizierenden Raumes dienen z​ur Definition charakteristischer Klassen.

Zum Beispiel erhält man charakteristische Klassen orientierter Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}$ aus der Kohomologie von ${\displaystyle BSO(n)}$. Für einen Körper F mit ${\displaystyle char(F)\not =2}$ gilt

${\displaystyle H^{*}(BSO(2n),F)=F\left[e,p_{1},\ldots ,p_{n}\right]/(e^{2}-p_{n})}$

${\displaystyle H^{*}(BSO(2n+1,F)=F\left[p_{1},\ldots ,p_{n}\right]}$,

wobei ${\displaystyle e}$ die Euler-Klasse und ${\displaystyle p_{i}}$ die Pontrjagin-Klassen bezeichnet. Für ${\displaystyle char(F)=2}$ ist

${\displaystyle H^{*}(BSO(n),F)=F\left[w_{2},\ldots ,w_{n}\right]}$,

wobei ${\displaystyle w_{i}}$ die Stiefel-Whitney-Klassen bezeichnet.

Literatur

• John Milnor: Construction of universal bundles. Teil I In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 272–284. pdf; Teil II In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 430–436. pdf
• Dale Husemoller: Fibre bundles. McGraw-Hill Book Co., New York/ London/ Sydney 1966, OCLC 909937420.
• Tammo tom Dieck: Topologie. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012463-7.

Weblinks

• Classifying space (Encyclopedia of Mathematics)
• BG (literature guide to algebraic topology)
• Mitchell: Notes on principal bundles and classifying spaces (Kapitel 7–11)
• May: A concise course in algebraic topology (Kapitel 23: "Characteristic classes of vector bundles")
• Stasheff: Cohomology of groups and classifying spaces

Einzelnachweise

1. Eine offene Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ eines topologischen Raumes heißt numerierbar, wenn es eine lokal endliche Zerlegung der Eins ${\displaystyle 1=\Sigma _{i\in I}u_{i}}$ mit ${\displaystyle supp(u_{i})\subset U_{i}}$ gibt. Ein Prinzipalbündel heißt numerierbar, wenn es eine numerable Überdeckung gibt, so dass die Einschränkungen des Bündels auf die ${\displaystyle U_{i}}$ trivialisierbar sind. Vgl. Husemoller, op.cit., Section I.4.9.