Stiefel-Mannigfaltigkeit

In d​er Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt n​ach Eduard Stiefel, d​ie Orthonormalbasen d​er Unterräume e​ines Vektorraumes.

Definition

Sei oder der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Sei .

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit definiert als Menge aller -Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der -Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe

Die Gruppe wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator , man erhält also eine Bijektion mit

.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

Topologie

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von mit einem Unterraum von .

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ist die Menge der -dimensionalen Untervektorräume des .

Jedem -Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

.

Die s​o definierten Projektionen s​ind Prinzipalbündel

Stiefel-Mannigfaltigkeiten in der diskreten Mathematik

Der Graph-Homomorphismen-Komplex ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).[1]

Belege

  1. Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C5,Kn) pdf
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