Einbettungssatz von Whitney

Der Einbettungssatz von Whitney ist ein grundlegendes Theorem in der Differentialgeometrie. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney bewiesen. Der Satz besagt, dass jede ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ besitzt.

Erläuterungen

Die Kernaussage dieses Satzes i​st also, d​ass es eigentlich n​ur Mannigfaltigkeiten i​m Euklidischen Raum gibt.

Man beachte, d​ass der Satz n​ur gilt, w​enn man d​er (sehr üblichen) Definition folgt, d​ass eine Mannigfaltigkeit i​mmer zweitabzählbar ist. Wenn m​an dies n​icht fordert, g​ibt es glatte Mannigfaltigkeiten, d​ie sich n​icht in e​inen Euklidischen Raum einbetten lassen, w​ie z. B. d​ie Lange Gerade o​der ein überabzählbarer diskreter Raum.

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ in eine andere ${\displaystyle N}$ ist eine injektive Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$, so dass ${\displaystyle f(M)}$ eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}$ ist und die Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to f(M)}$ ein Diffeomorphismus ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

Beispiel

Ein Beispiel ist die Klein’sche Flasche, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt (jedoch immersieren), wohl aber in den vierdimensionalen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Das Beispiel der Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension ${\displaystyle 2n}$ nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es für jedes ${\displaystyle n=2^{k}}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den ${\displaystyle 2n}$-dimensionalen Raum, aber nicht in den ${\displaystyle (2n-1)}$-dimensionalen Raum eingebettet werden kann.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Siehe auch

• Einbettungssatz von Nash
• Immersionssatz von Whitney

Weblinks

• Klassifikation von Einbettungen