Ergodischer stochastischer Prozess

Ein ergodischer stochastischer Prozess, k​urz ergodischer Prozess, i​st ein spezieller stochastischer Prozess, d​er es ermöglicht, Begriffe d​er Ergodentheorie i​n die Wahrscheinlichkeitstheorie z​u übertragen. Dabei w​ird der zeitdiskrete stochastische Prozess a​ls ein dynamisches System interpretiert, d​as durch Iteration v​on Shift-Abbildungen entsteht u​nd unter gewissen Voraussetzungen maßerhaltend ist.

Ergodische stochastische Prozesse spielen eine wichtige Rolle, da man für sie mittels des individuellen Ergodensatzes und des ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-Ergodensatzes auch starke Gesetze der großen Zahlen herleiten kann, die nicht nur für unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen gelten.

Definition

Gegeben sei ein kanonischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)=(E^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(E)^{\otimes \mathbb {N} },P)}$, wobei ${\displaystyle E}$ ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Der Shift ${\displaystyle \tau$ :\Omega \to \Omega } sei definiert durch

${\displaystyle \tau ((\omega _{n})_{n\in \mathbb {N} })=(\omega _{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Somit gilt ${\displaystyle X_{n}(\omega )=X_{0}(\tau ^{n}(\omega ))}$ und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,\tau )}$ ist ein dynamisches System, das genau dann maßerhaltend ist, wenn ${\displaystyle X}$ ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Ist nun ${\displaystyle \tau }$ eine ergodische Transformation, ist also die σ-Algebra der ${\displaystyle \tau }$-invarianten Ereignisse eine P-triviale σ-Algebra, so heißt ${\displaystyle X}$ ein ergodischer stochastischer Prozess.

Beispiel

Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen

Jede Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen bildet einen ergodischen Prozess. Der Prozess ist definitiv stationär, da die Verteilungen per Definition alle identisch sind. Ist nun ${\displaystyle A}$ in der σ-Algebra der invarianten Ereignisse ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ enthalten, so ist

${\displaystyle A=\{\tau ^{n}\in A\}\in \sigma (X_{n},X_{n+1},\dots )}$

und damit ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ in der terminalen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ enthalten. Diese ist aber nach dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz P-trivial, somit muss auch ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ P-trivial sein. Daraus folgt die Ergodizität des Prozesses.

Markow-Ketten

Ein weiteres Beispiel für ergodische Prozesse s​ind Markow-Ketten i​n diskreter Zeit u​nd mit abzählbar unendlichem Zustandsraum, d​ie in i​hrer invarianten Verteilung starten u​nd irreduzibel s​owie positiv rekurrent sind. Dies z​eigt man mittels d​er starken Markow-Eigenschaft. Diese Markow-Ketten s​ind somit e​in Beispiel für stochastische Prozesse, b​ei denen aufgrund d​er Ergodensätze d​as starke Gesetz d​er großen Zahl gilt, obwohl stochastische Abhängigkeiten vorhanden sind.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3.