Trägheitssatz von Sylvester

Der Trägheitssatz v​on Sylvester – o​der sylvestersche Trägheitssatz – i​st ein Theorem a​us der linearen Algebra, welches besagt, d​ass Koeffizientenmatrizen v​on Bilinearformen bestimmte Eigenschaften aufweisen, d​ie invariant u​nter einem Basiswechsel sind. Es liefert d​amit die Grundlagen z​ur Definition d​er Signatur.

Der Satz i​st benannt n​ach dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester,

Aussage des Satzes

Sei ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform ${\displaystyle s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$. Der Ausartungsraum ${\displaystyle V_{0}}$ von ${\displaystyle V}$ ist definiert als

${\displaystyle V_{0}:=\{v\in V:s(v,w)=0\ \forall w\in V\}}$.

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, d​ass eine direkte Summe

${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}}$

mit

${\displaystyle s(v,v)>0}$ für alle ${\displaystyle v\in V_{+}\setminus \{0\}\ {\text{und}}\qquad s(v,v)<0}$ für alle ${\displaystyle v\in V_{-}\setminus \{0\}}$

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von ${\displaystyle V}$, so dass die Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ der hermiteschen Sesquilinearform ${\displaystyle s}$ die Diagonalgestalt

${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle 0}$, alle anderen Koeffizienten sind ${\displaystyle 0}$.[1]

Bemerkungen

• Seien ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine symmetrische Matrix und ${\displaystyle S\in GL(n,\mathbb {R} )}$ eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle S^{T}AS}$ mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation ${\displaystyle SAS^{-1}}$ invariant, nicht jedoch unter ${\displaystyle S^{T}AS}$.
• Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Signatur

→ Hauptartikel: Signatur (lineare Algebra)

Die Räume ${\displaystyle V_{+}}$, ${\displaystyle V_{-}}$ und ${\displaystyle V_{0}}$ seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{+}(s)&:=\dim(V_{+}),\\r_{-}(s)&:=\dim(V_{-})\ {\text{und}}\\r_{0}(s)&:=\dim(V_{0})\end{aligned}}}$

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform ${\displaystyle s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$ sind. Insbesondere ist

${\displaystyle r_{+}(s)=\max\{\dim(W):W\subseteq V\ \mathrm {Untervektorraum\ und} \ s(w,w)>0\ \forall w\in W\setminus \{0\}\}}$.

Die analoge Aussage gilt auch für ${\displaystyle r_{-}(s)}$. Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

${\displaystyle r_{+}(s)+r_{-}(s)+r_{0}(s)=\dim(V)}$.

Das Tripel ${\displaystyle \sigma (s):=\left(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s)\right)}$ heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von ${\displaystyle s}$.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

Einzelnachweise

1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 278–281.