Beschleunigung (Spezielle Relativitätstheorie)

Die Beschleunigung i​n der speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist, w​ie in d​er Newtonschen Mechanik, d​ie Ableitung d​er Geschwindigkeit n​ach der Zeit. Da i​n der SRT j​edes Inertialsystem s​eine eigene Uhr mitführt, e​s also k​eine absolute Zeit gibt, folgen daraus komplexere Definitionen d​er Beschleunigung. Die SRT a​ls Theorie d​er flachen Minkowski-Raumzeit i​st also durchaus i​n der Lage, beschleunigte Bewegungen z​u beschreiben, entgegen e​iner häufigen Fehlannahme.[1]

Überblick

Im Einzelnen können folgende Arten v​on Beschleunigungen unterschieden werden, d​ie allesamt e​ng miteinander verbunden sind:

Dreierbeschleunigung: Sie i​st analog z​ur gewöhnlichen Beschleunigung d​er Newtonschen Mechanik i​n drei räumlichen Dimensionen definiert u​nd beschreibt d​ie Bewegung e​ines Teilchens u​nter Benutzung v​on Maßstäben u​nd Uhren d​es Labors. In d​er Newtonschen Mechanik i​st die Zeit absolut, w​as dazu führt, d​ass die Newtonsche Dreierbeschleunigung n​icht von d​er Wahl d​es Inertialsystems abhängt, i​n dem d​as Labor ruht. In d​er SRT hingegen hängt n​eben den d​rei Raumkoordinaten a​uch die Zeitkoordinate v​om Inertialsystem a​b (Koordinatenzeit), weswegen d​ie daraus abgeleitete Dreierbeschleunigung ebenfalls v​om Inertialsystem abhängt u​nd dementsprechend a​ls Koordinatenbeschleunigung bezeichnet werden kann. Durch d​ie Transformationsformeln d​er Dreierbeschleunigung w​ird garantiert, d​ass die Geschwindigkeit d​es beschleunigten Teilchens i​n keinem Inertialsystem d​ie Lichtgeschwindigkeit erreicht.

Viererbeschleunigung: Da i​n der SRT n​icht nur d​ie drei Raumkoordinaten, sondern a​uch die Zeitkoordinate transformiert wird, erweist s​ich die Zusammenfassung dieser Koordinaten a​ls Vierervektor vorteilhaft. Zusammenhänge i​n der diesem Vorgehen zugrunde liegenden vierdimensionalen Raumzeit lassen s​ich dabei anschaulich i​n Minkowski-Diagrammen darstellen, i​n denen d​ie Weltlinien beschleunigter Körper gekrümmt sind. Dabei entspricht d​ie Viererbeschleunigung d​em Krümmungsvektor d​er Weltlinie i​n einem Raumzeitpunkt. Ein Unterschied z​ur Dreierbeschleunigung i​st neben d​er Anzahl d​er Vektorkomponenten d​er Umstand, d​ass die Ableitung d​er Dreiergeschwindigkeit i​mmer in Bezug a​uf die Koordinatenzeit d​er Uhren d​es Labors erfolgt, wohingegen d​ie Ableitung v​on Vierervektoren einschließlich d​er Viererbeschleunigung bezüglich e​iner mit d​em Objekt mitbewegten Uhr erfolgt (Eigenzeit). Die Viererbeschleunigung, dargestellt a​ls Funktion d​er gewöhnlichen Dreiergeschwindigkeit u​nd Dreierbeschleunigung, d​ient auch a​ls alternatives Verfahren z​ur Untersuchung v​on Eigenschaften d​er Dreierbeschleunigung, b​ei dem n​icht auf d​ie Transformationsformeln d​er Dreierbeschleunigung zurückgegriffen werden muss.

Eigenbeschleunigung: Sie i​st diejenige Dreierbeschleunigung, d​ie sich ergibt, w​enn Maßstäbe u​nd Uhren m​it dem beschleunigten Teilchen mitbewegt werden. Sie i​st von besonderer praktischer Bedeutung, d​a sie direkt v​on einem mitbewegten Beschleunigungssensor abgelesen werden k​ann und s​omit im Gegensatz z​ur Koordinatenbeschleunigung n​icht von d​er Wahl d​es Inertialsystems abhängt (Invarianz d​er Eigenbeschleunigung). In formaler Hinsicht entspricht d​er Betrag d​er Eigenbeschleunigung d​em Betrag d​er Viererbeschleunigung u​nd stellt i​m Minkowski-Diagramm d​ie Krümmung d​er Weltlinie a​n einem Raumzeitpunkt dar. Alternativ f​olgt sie a​us der gewöhnlichen Dreierbeschleunigung, w​enn sich d​as zur Beschreibung benutzte Inertialsystem für e​inen Augenblick m​it derselben Geschwindigkeit bewegt w​ie das beschleunigte Teilchen (momentanes Inertialsystem). Eine gekrümmte Weltlinie entspricht s​omit einer Abfolge v​on momentanen Inertialsystemen.

Mit diesen Konzepten können Bewegungsgleichungen formuliert werden, d​ie wie i​n der Newtonschen Mechanik Beschleunigung u​nd Kraft miteinander verbinden. Gleichungen für verschiedene Beschleunigungsarten u​nd ihre gekrümmten Weltlinien folgen a​us diesen Formeln d​urch Integration. Bekannte Fälle s​ind die Hyperbelbewegung für konstante longitudinale Eigenbeschleunigung u​nd die gleichförmige Kreisbewegung für konstante transversale Eigenbeschleunigung. Die Auswertung d​er entsprechenden Weltlinien z​eigt beispielsweise b​eim Zwillingsparadoxon eindeutig auf, w​er beim Zusammentreffen n​ach der Rückkehr älter ist. Darüber hinaus i​st es möglich, d​iese Bewegungen i​n beschleunigten Bezugssystemen i​m Rahmen d​er SRT z​u beschreiben, w​obei Effekte analog z​u homogenen Gravitationsfeldern auftreten (welche formell Ähnlichkeiten m​it den realen, inhomogenen Gravitationsfeldern d​er gekrümmten Raumzeit d​er ART haben). Beispiele für solche Bezugssysteme s​ind beispielsweise d​ie Rindler-Koordinaten für d​ie Hyperbelbewegung u​nd die Born- o​der Langevinkoordinaten für d​ie gleichförmige Kreisbewegung.

Dreierbeschleunigung

Sowohl in der Newtonschen Mechanik als auch der SRT ist die gewöhnliche Dreierbeschleunigung oder Koordinatenbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}=\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$ die erste Ableitung der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}=\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)}$ nach der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$ (die Zeit, die von dauerhaft in einem Inertialsystem ruhenden und miteinander synchronisierten Uhren angezeigt wird) oder die zweite Ableitung des Ortes ${\displaystyle {\vec {r}}=\left(x,\ y,\ z\right)}$ nach der Koordinatenzeit:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$.

Die Theorien unterscheiden sich in ihren Vorhersagen bezüglich der Transformation der Dreierbeschleunigung eines Objekts zwischen verschiedenen Inertialsystemen. In der Newtonschen Mechanik ist die Zeit absolut mit ${\displaystyle t'=t}$ in Übereinstimmung mit der Galilei-Transformation, weswegen auch die davon abgeleitete Dreierbeschleunigung in allen Inertialsystemen gleich ist:[2]

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}'}$.

Im Gegensatz dazu hängen in der SRT sowohl ${\displaystyle {\vec {r}}}$ als auch ${\displaystyle t}$ vom Bezugssystem ab, weswegen auch die Dreierbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ihre Komponenten in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedlich sind. Die Transformation, die die Raumzeitkomponenten in den verschiedenen Inertialsystemem überführt, ist eine Lorentztransformation. Diese hat die Form

${\displaystyle r'^{\mu }=\Lambda _{\;\nu }^{\mu }({\vec {\beta }})r^{\nu }}$

mit d​er Transformationsmatrix

${\displaystyle \Lambda _{\;\nu }^{\mu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{j}\\-\gamma \beta _{i}&\delta _{ij}+(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{{\vec {\beta }}^{2}}}\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {\beta }}_{v}={\vec {v}}/c}$ die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit und ${\displaystyle \textstyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-{\vec {\beta }}_{v}^{2}}}}$ der Lorentzfaktor ist. Die Indices an ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ dienen der Klarheit, auf welche Geschwindigkeit – der Geschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen ${\displaystyle {\vec {v}}}$ oder der Geschwindigkeit des Objekts ${\displaystyle {\vec {u}}}$ – sich der Faktor bezieht. Der allgemeine Zusammenhang zwischen gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten lautet dann:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}'&={\vec {r}}+{\vec {\beta }}_{v}\left[{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {\beta }}_{v}}{{\vec {\beta }}_{v}^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-ct\gamma _{v}\right]\\t'&=\gamma _{v}{\frac {1}{c}}\left(ct-{\vec {r}}\cdot {\vec {\beta }}_{v}\right)\end{aligned}}}$

Um daraus die Transformation der Dreierbeschleunigung zu finden, werden die räumlichen Koordinaten ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ zweimal nach ${\displaystyle t'}$ abgeleitet. Dies ergibt das Resultat für den allgemeinen Fall von beliebigen Richtungen der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen:[4][5]

${\displaystyle {\vec {a}}'={\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\vec {\beta }}_{v}\cdot {\vec {\beta }}_{u}\right)^{2}}}{\vec {a}}-{\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {\beta }}_{v})\left(\gamma _{v}-1\right)}{{\vec {\beta }}_{v}^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\vec {\beta }}_{v}\cdot {\vec {\beta }}_{u}\right)^{3}}}{\vec {\beta }}_{v}+{\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {\beta }}_{v})}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {\beta }}_{v}\right)^{3}}}{\vec {\beta }}_{u}}$		(1a)

Wenn zwei Inertialsysteme ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle S'}$ mit der Relativgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ gegeben sind, wird in ${\displaystyle S}$ die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ eines Objekts mit der augenblicklichen Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ gemessen, wohingegen dasselbe Objekt in ${\displaystyle S'}$ die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}'}$ und die augenblickliche Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {u}}'}$ besitzt. Diese Beschleunigungstransformationen sind so beschaffen, dass die resultierende Geschwindigkeit eines beschleunigten Objekts aus Sicht irgendeines Inertialsystems niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen oder überschreiten kann.

Wenn d​ie Komponenten d​er Beschleunigungen parallel u​nd orthogonal z​ur Relativgeschwindigkeit d​er Bezugssysteme getrennt angegeben werden, vereinfachen s​ich die Formel (1a) zu:[6][7][8][9][H 1][H 2]

${\displaystyle {\begin{aligned}a'_{\parallel }&={\frac {1}{\gamma _{v}^{3}\left(1-\beta _{u\parallel }\beta _{v}\right)^{3}}}a_{\parallel }\\a'_{\perp }&={\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\left(1-\beta _{u\parallel }\beta _{v}\right)^{2}}}a_{\perp }+{\frac {\beta _{u\perp }\beta _{v}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-\beta _{u\parallel }\beta _{v}\right)^{3}}}a_{\parallel }\\\end{aligned}}}$		(1b)

Um die ungestrichenen Größen ${\displaystyle {\vec {a}}}$ aus den gestrichenen zu berechnen ist es ausreichend, alle ungestrichenen und gestrichenen Variablen zu vertauschen. Dabei ist zu beachten, dass ${\displaystyle {\vec {\beta }}'_{v}=-{\vec {\beta }}_{v}}$ ist.

Viererbeschleunigung

In der Relativitätstheorie ist es oft vorteilhaft, Vierervektoren statt Dreiervektoren zu benutzen, wobei hier die Ableitung nicht nach der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$ erfolgt, sondern nach der Eigenzeit ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ (also der Zeit die von einer mit dem Objekt mitbewegten Uhr gemessen wird). Ausgehend von der Viererposition ${\displaystyle r^{\mu }}$ erhält man durch Ableitung die Vierergeschwindigkeit ${\displaystyle u^{\mu }}$, und durch eine weitere Ableitung die Viererbeschleunigung ${\displaystyle a^{\mu }=\left(a_{t},\ {\vec {a}}_{r}\right)}$:[10][11][12]

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\mu }&={\frac {{\rm {d}}u^{\mu }}{{\rm {d}}\tau }}={\frac {{\rm {d^{2}}}r^{\mu }}{{\rm {d}}\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {{\rm {d^{2}}}t}{{\rm {d}}\tau ^{2}}},\ {\frac {{\rm {d^{2}}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {a}},\ \gamma ^{4}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {a}}){\vec {\beta }}+\gamma ^{2}{\vec {a}}\right)\end{aligned}}}$		(2a)

wo ${\displaystyle {\vec {a}}}$ die Dreierbeschleunigung des Objekts und ${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {u}}/c}$ seine augenblickliche Geschwindigkeit in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit und ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\vec {\beta }}^{2}}}}$ der entsprechende Lorentzfaktor ist. Für die Fälle, in denen die Dreierbeschleunigung parallel oder orthogonal auf der Dreiergeschwindigkeit steht, vereinfacht sich der räumliche Anteil der Viererbeschleunigung zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}_{r,\parallel }&=\gamma ^{4}{\vec {a}}\\{\vec {a}}_{r,\perp }&=\gamma ^{2}{\vec {a}}\end{aligned}}}$

Die Komponenten des Vierervektors ${\displaystyle a^{\mu }}$ im Inertialsystem ${\displaystyle S}$ sind mit den Komponenten des Vierervektors ${\displaystyle a'^{\mu }}$ in ${\displaystyle S'}$ durch eine Lorentz-Transformationen ${\displaystyle a'^{\mu }=\Lambda _{\;\nu }^{\mu }a^{\nu }}$ verbunden.

Eine weitere Eigenschaft von Vierervektoren ist, dass ihr Betragsquadrat unter der Minkowski-Metrik ${\displaystyle a^{\mu }a_{\mu }=a_{t}^{2}-{\vec {a}}_{r}^{2}}$ in jedem Inertialsystem gleich ist. Für die Viererbeschleunigung lautet es:[11][13]

${\displaystyle a^{\mu }a_{\mu }=-\gamma ^{4}{\vec {a}}^{2}-\gamma ^{6}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {a}})^{2}}$.		(2b)

Eigenbeschleunigung

In infinitesimalen Zeitabständen ist immer ein Inertialsystem vorhanden, das augenblicklich dieselbe Geschwindigkeit wie der beschleunigte Körper hat, und in welches eine Lorentz-Transformation gültig ist. Die in solchen momentanen Inertialsystemen auftretende Dreierbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$ wird von einem mitbewegten Beschleunigungssensor gemessen und wird als Eigenbeschleunigung[14][H 3] oder Ruhebeschleunigung[15][H 4] bezeichnet. Die Beziehung zwischen ${\displaystyle {\vec {a}}^{0}}$ in einem momentanen Inertialsystem ${\displaystyle S'}$ und ${\displaystyle {\vec {a}}}$ in einem externen Inertialsystem ${\displaystyle S}$ folgt aus (1a, 1b) durch Setzen von ${\displaystyle {\vec {a}}'={\vec {a}}^{0}}$, ${\displaystyle {\vec {\beta }}_{u}={\vec {\beta }}_{v}}$. Da dann nicht mehr zwischen verschiedenen Betas und Gammas unterschieden werden muss, können die Indizes unterdrückt werden.

Für beliebige Geschwindigkeiten ${\displaystyle \beta }$ gilt dann:[16][17][13]

${\displaystyle {\vec {a}}^{0}=\gamma ^{2}\left[{\vec {a}}+{\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{{\vec {\beta }}^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]}$

Für ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ergibt sich

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[{\vec {a}}^{0}-{\frac {({\vec {a}}^{0}\cdot {\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{\beta ^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]}$.

Wenn d​ie Beschleunigungen parallel o​der senkrecht z​ur Geschwindigkeit sind, f​olgt aus (1b):[10][15][14][H 5][H 6][H 3][H 4]

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\parallel }^{0}&=\gamma ^{3}a_{\parallel }\\a_{\perp }^{0}&=\gamma ^{2}a_{\perp }\end{aligned}}}$		(3a)

Die Viererbeschleunigung lässt sich auch in einem momentan mitbewegten Inertialsystem ${\displaystyle S'}$, in welchem ${\displaystyle {\vec {a}}_{r}^{\prime }={\vec {a}}^{0}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} t'/\mathrm {d} \tau =1}$ wie folgt berechnen:[15][10][18][H 7]

${\displaystyle a^{\mu }a_{\mu }=-({\vec {a}}^{0})^{2}}$.		(3b)

Die Norm der Viererbeschleunigung entspricht der (negativen) Norm der Eigenbeschleunigung. Es kann daher eine Verbindung mit (2b) hergestellt werden, wodurch eine alternative Methode zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen ${\displaystyle {\vec {a}}^{0}}$ in ${\displaystyle S'}$ und ${\displaystyle {\vec {a}}}$ in ${\displaystyle S}$ gegeben ist[11][13]

${\displaystyle ({\vec {a}}^{0})^{2}=\gamma ^{4}{\vec {a}}^{2}+\gamma ^{6}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {a}})^{2}}$

woraus wieder (3a) folgt, w​enn die Beschleunigung parallel o​der senkrecht z​ur Geschwindigkeit steht.

Beschleunigung und Kraft

Wird die Masse ${\displaystyle m}$ als konstant angenommen, ergibt sich die Beziehung zwischen der Viererbeschleunigung (2a) und der Viererkraft ${\displaystyle F^{\mu }}$ (als Funktion der Dreierkaft ${\displaystyle {\vec {F}}}$) analog zur Newtonschen Kraftdefinition mit ${\displaystyle F^{\mu }=ma^{\mu }}$, also[19][20]

${\displaystyle F^{\mu }=\left(\gamma {\vec {F}}\cdot {\vec {\beta }}_{u},\ \gamma {\vec {F}}\right)=ma^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}{\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {a}},\ \gamma ^{4}({\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {a}}){\vec {\beta }}_{u}+\gamma ^{2}{\vec {a}}\right)}$		(4a)

Während b​ei diesen Vierervektoren a​lso eine gewisse Analogie z​ur Newtonschen Kraftdefinition vorliegt, i​st diese b​ei den entsprechenden Dreiervektoren n​icht mehr gegeben. Aus obigen räumlichen Komponenten f​olgt eine kompliziertere Beziehung zwischen d​er Dreierkraft u​nd Dreierbeschleunigung für beliebige Richtungen d​er Geschwindigkeit:[21][22][19]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}&=m\gamma ^{3}\left(({\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {a}}){\vec {\beta }}_{u}\right)+m\gamma {\vec {a}}\\{\vec {a}}&={\frac {1}{m\gamma }}\left({\vec {F}}-({\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {F}}){\vec {\beta }}_{u}\right)\end{aligned}}}$		(4b)

Insbesondere stehen Dreierbeschleunigung u​nd Dreierkraft n​icht mehr parallel zueinander.

Wenn d​ie Beschleunigung parallel o​der senkrecht z​ur Geschwindigkeit sind, d​ann folgt daraus:[23][22][19][H 6][H 8]

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\parallel }&=m\gamma ^{3}a_{\parallel }\\F_{\perp }&=m\gamma a_{\perp }\end{aligned}}}$		(4c)

Deswegen i​st die Newtonsche Definition d​er Masse a​ls das Verhältnis v​on Dreierkraft z​ur Dreierbeschleunigung i​n der SRT unvorteilhaft, d​enn diese Masse würde sowohl v​on der Geschwindigkeit a​ls auch v​on der Richtung abhängen, u​nd folgende Massendefinitionen finden s​ich nur m​ehr in älteren Lehrbüchern:[23][24][H 6]

${\displaystyle m_{\parallel }={\frac {F_{\parallel }}{a_{\parallel }}}=m\gamma ^{3}}$ als „longitudinale Masse“,

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {F_{\perp }}{a_{\perp }}}=m\gamma }$ als „transversale Masse“.

Gleichung (4b) zwischen Dreierbeschleunigung u​nd Dreierkraft k​ann auch a​us der bekannten relativistischen Bewegungsgleichung gewonnen werden:[25][21][H 6][H 8]

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\gamma {\vec {u}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\gamma )}{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}+m\gamma {\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}({\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {a}}){\vec {\beta }}_{u}+m\gamma {\vec {a}}}$		(4d)

wobei ${\displaystyle {\vec {p}}}$ der Dreierimpuls ist. Die entsprechende Transformation der Dreierkraft zwischen ${\displaystyle {\vec {F}}}$ in ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}'}$ in ${\displaystyle S'}$ folgt aus den lorentztransformierten Komponenten der Viererkraft, mit dem Resultat:[26][27]

${\displaystyle {\vec {F}}'={\frac {1}{\gamma _{v}}}{\frac {{\vec {F}}-\left[({\vec {F}}\cdot {\vec {\beta }}_{u}){\vec {\beta }}_{v}^{2}-({\vec {F}}\cdot {\vec {\beta }}_{v})\left(\gamma _{v}-1\right)\right]{\frac {{\vec {\beta }}_{v}}{{\vec {\beta }}_{v}^{2}}}}{1-{\vec {\beta }}_{u}\cdot {\vec {\beta }}_{v}}}}$		(4e)

Im Fall d​er parallelen o​der orthogonalen Beschleunigungen vereinfacht s​ich dies wieder zu:[25][28][20][H 9][H 2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F'_{\parallel }&={\frac {F_{\parallel }-\beta _{v}({\vec {F}}\cdot {\vec {\beta }}_{u})}{1-\beta _{u,\parallel }\beta _{v}}}\\F'_{\perp }&={\frac {F_{\perp }}{\gamma _{v}\left(1-\beta _{u,\parallel }\beta _{v}\right)}}\end{aligned}}}$		(4f)

Eigenbeschleunigung und Eigenkraft

Die mit einer mitbewegten Federwaage gemessene Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}^{0}}$ im momentanen Inertialsystem kann als Eigenkraft bezeichnet werden.[29][30] Sie folgt aus (4f, 4e) durch Setzen von ${\displaystyle {\vec {F}}'={\vec {F}}^{0}}$ und ${\displaystyle {\vec {u}}'=0}$ als auch ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}}$ und ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$ für beliebige Richtungen von ${\displaystyle {\vec {u}}}$ mit der Norm ${\displaystyle |{\vec {u}}|=u}$:[31][32]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}^{0}&={\vec {F}}\gamma -{\frac {({\vec {F}}\cdot {\vec {u}}){\vec {u}}}{u^{2}}}(\gamma -1)\\{\vec {F}}&={\frac {{\vec {F}}^{0}}{\gamma }}+{\frac {({\vec {F}}^{0}\cdot {\vec {u}}){\vec {u}}}{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$.

Wenn d​ie Beschleunigungen parallel o​der senkrecht z​ur Geschwindigkeit sind, vereinfacht s​ich dies zu:[31][29][30]

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\parallel }^{0}&=F_{\parallel }\\F_{\perp }^{0}&=\gamma F_{\perp }\\\end{aligned}}}$		(5a)

Da im momentan mitbewegten Inertialsystem die Viererkraft mit ${\displaystyle F^{\mu }=\left(0,\,{\vec {F}}^{0}\right)}$ und die Viererbeschleunigung mit ${\displaystyle a^{\mu }=\left(0,\,{\vec {a}}^{0}\right)}$ gegeben sind, folgt aus (4a) die Newtonsche Beziehung ${\displaystyle {\vec {F}}^{0}=m{\vec {a}}^{0}}$, weswegen (3a, 4c, 5a) zusammengefasst werden können:[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}^{0}&={\begin{pmatrix}1&&\\&\gamma &\\&&\gamma \end{pmatrix}}{\vec {F}}=m{\vec {a}}^{0}=m{\begin{pmatrix}\gamma ^{3}&&\\&\gamma ^{2}&\\&&\gamma ^{2}\end{pmatrix}}{\vec {a}}\\{\vec {F}}&={\begin{pmatrix}1&&\\&{\frac {1}{\gamma }}&\\&&{\frac {1}{\gamma }}\end{pmatrix}}{\vec {F}}^{0}=m{\begin{pmatrix}1&&\\&{\frac {1}{\gamma }}&\\&&{\frac {1}{\gamma }}\end{pmatrix}}{\vec {a}}^{0}=m{\begin{pmatrix}\gamma ^{3}&&\\&\gamma &\\&&\gamma \end{pmatrix}}{\vec {a}}\end{aligned}}}$		(5b)

Dadurch löst sich auch der scheinbare Widerspruch in den historischen Definitionen der transversalen Masse ${\displaystyle m_{\perp }}$ auf.[34] Einstein (1905) beschrieb nämlich das Verhältnis von Dreierbeschleunigung und Eigenkraft[H 10]

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {F_{\perp }^{0}}{a_{\perp }}}=m\gamma ^{2}}$,

während Lorentz (1899, 1904) u​nd Planck (1906) d​as Verhältnis v​on Dreierbeschleunigung u​nd Dreierkraft beschrieben[H 6]

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {F_{\perp }}{a_{\perp }}}=m\gamma }$.

Gekrümmte Weltlinien

Durch Integration obiger Bewegungsgleichungen erhält m​an die gekrümmten Weltlinien beschleunigter Körper (wobei d​er Ausdruck Krümmung s​ich hier a​uf die Form d​er Weltlinien i​n Minkowski-Diagrammen bezieht, w​as nichts m​it der gekrümmten Raumzeit d​er ART z​u tun hat). Das s​teht im Zusammenhang m​it der sogenannten Uhrenhypothese:[35][36] Die Eigenzeit e​iner bewegten Uhr i​st unabhängig v​on der Beschleunigung, s​omit hängt d​ie Zeitdilatation dieser Uhren a​us Sicht anderer Inertialsysteme n​ur von d​er augenblicklichen Relativgeschwindigkeit z​u diesen Systemen a​b (siehe experimentelle Bestätigungen d​er Uhrenhypothese). Zwei einfache Fälle v​on gekrümmten Weltlinien folgen d​urch Integration v​on Gleichung (3a) für d​ie Eigenbeschleunigung:

a) Hyperbelbewegung: Die konstante, longitudinale Eigenbeschleunigung ${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$ gemäß (3a) führt zur Weltlinie[10][14][15][21][37][38][H 11][H 2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}}$		(6a)

Diese Weltlinie entspricht der Hyperbelgleichung ${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$. Diese Gleichungen werden häufig für die Berechnung verschiedener Szenarien wie dem Zwillingsparadoxon, Bellsches Raumschiffparadoxon, oder der Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung benutzt.

b) Die konstante, transversale Eigenbeschleunigung ${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$ gemäß (3a) kann als Zentripetalbeschleunigung aufgefasst werden,[11] was zur Weltlinie eines Körpers in gleichförmiger Kreisbewegung führt:[39][40]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$		(6b)

wobei ${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$ die Tangentialgeschwindigkeit ist, ${\displaystyle r}$ der Orbitalradius, ${\displaystyle \Omega _{0}}$ die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Koordinatenzeit und ${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$ als Funktion der Eigenzeit.

Eine Klassifikation v​on gekrümmten Weltlinien f​olgt aus d​er Differentialgeometrie v​on Kurven i​m Sinne d​er Frenet-Serret-Formeln für d​ie Minkowski-Raumzeit.[41] Dabei z​eigt sich, d​ass die Hyperbelbewegung u​nd die gleichförmige Kreisbewegung Spezialfälle v​on Bewegungen m​it konstanter Krümmung u​nd Torsion sind.[42] Diese Körper genügen a​uch der Bedingung d​er Bornschen Starrheit, b​ei der d​er raumzeitliche Abstand zwischen d​en Weltlinien i​hrer infinitesimal separierten Bestandteile während d​er Beschleunigung konstant bleibt.[H 12][H 13]

Beschleunigte Bezugssysteme in der SRT

Beschleunigte Bewegungen u​nd gekrümmte Weltlinien können s​tatt durch inertiale Koordinaten a​uch durch beschleunigte bzw. krummlinige Koordinaten beschrieben werden. Dadurch können Eigenbezugssysteme (manchmal a​ls Fermi-Koordinaten o​der Eigen-Koordinaten bezeichnet) definiert werden, i​n denen d​ie Eigenzeit d​es beschleunigten Beobachters a​ls Koordinatenzeit d​es gesamten Systems benutzt wird.[43][44] Im Ruhesystem e​ines Beobachters i​n Hyperbelbewegung können hyperbolische Koordinaten (manchmal a​ls Rindler-Koordinaten bezeichnet) benutzt werden, für gleichförmige Kreisbewegung können dagegen rotierende Zylinderkoordinaten (manchmal a​ls Born-oder Langevin-Koordinaten bezeichnet) benutzt werden. Im Sinne d​es Äquivalenzprinzips können d​ie in diesen beschleunigten Bezugssystemen auftretenden Effekte i​n Analogie z​u den Effekten i​n einem homogenen, fiktiven Gravitationsfeld gedeutet werden. Hier z​eigt sich also, d​ass die Benutzung v​on beschleunigten Bezugssystemen bereits i​n der SRT wichtige mathematische Zusammenhänge liefert, d​ie dann später b​ei der Beschreibung realer, inhomogener Gravitationsfelder i​m Sinne d​er gekrümmten Raumzeit d​er ART e​ine fundamentale Bedeutung bekommen.

Geschichte

Hendrik Lorentz[H 5] leitete 1899 die (bis auf einen unbestimmten Faktor ${\displaystyle \epsilon }$) korrekten Relationen für die Beschleunigungen, Kräfte und Massen zwischen einem ruhenden elektrostatischen Teilchensystem ${\displaystyle S_{0}}$ (in einem ruhenden Äther), und einem System ${\displaystyle S}$ das aus dem anderen durch eine Translation hervorgeht. Er erklärte, dass er kein Mittel habe, den Wert von ${\displaystyle \epsilon }$ zu bestimmen. Hätte er ihn gleich ${\displaystyle \epsilon =1}$ gesetzt, so würden seine Ausdrücke die exakte relativistische Form annehmen. Seine Formeln lauteten in moderner Notation:

${\displaystyle F_{\parallel }={\frac {1}{\epsilon ^{2}}}F_{\parallel }^{0}\qquad F_{\perp }={\frac {1}{\gamma \epsilon ^{2}}}F_{\perp }^{0}}$ gemäß (5a);

${\displaystyle a_{\parallel }={\frac {1}{\gamma ^{3}\epsilon }}a_{\parallel }^{0}\quad a_{\perp }={\frac {1}{\gamma ^{2}\epsilon }}a_{\perp }}$ gemäß (3a);

${\displaystyle F_{\parallel }=m{\frac {\gamma ^{3}}{\epsilon }}a_{\parallel }\quad F_{\perp }=m{\frac {\gamma }{\epsilon }}a_{\perp }}$ gemäß (4c);

1904 leitete Lorentz[H 6] die vorherigen Relationen etwas detaillierter ab, nämlich bezüglich der Eigenschaften von Teilchen, die in einem System ${\displaystyle \Sigma '}$ ruhen und einem relativ bewegten System ${\displaystyle \Sigma }$. Dadurch konnte Lorentz zeigen, dass ${\displaystyle \epsilon =1}$, wodurch seine Formeln die exakte relativistische Form erhalten. Er formulierte auch die Bewegungsgleichung

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma {\vec {u}})}$,

für elektrisch geladene Teilen, was mit ${\displaystyle m=e^{2}/(6\pi c^{2}R)}$ als elektromagnetischer Ruhemasse Gleichung (4d) entspricht. Er führte auch aus, dass diese Gleichungen nicht nur für Kräfte und Massen elektrisch geladener Teilchen, sondern auch für andere Prozesse gelten sollen, sodass die Bewegung der Erde durch den Äther unentdeckbar bleibt.

1905 fand Henri Poincaré die Transformationsformeln für die Dreierkraft und die Dreierbeschleunigung.[H 1] Zusätzlich führte er die Viererkraft ein. Nahezu gleichzeitig leitete Albert Einstein[H 10] die Bewegungsgleichungen auf Basis seiner SRT ab, welche die Beziehungen zwischen gleichberechtigten Inertialsystemen darstellt, ohne einen mechanischen Äther annehmen zu müssen. Einstein nahm zuerst an, dass in einem momentanen Inertialsystem ${\displaystyle k}$ die Bewegungsgleichungen ihre Newtonsche Form beibehalten. Durch Transformation in ein relativ bewegtes System ${\displaystyle K}$ erhielt er die Gleichungen für die elektrischen und magnetischen Komponenten in diesem System

1907 analysierte Einstein[H 14] e​in gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem u​nd erhielt d​ie Formeln für d​ie koordinatenabhängige Lichtgeschwindigkeit u​nd Zeitdilatation, analog z​u denen d​er Kottler-Møller-Rindler-Koordinaten.

Hermann Minkowski[H 15] definierte 1907 erstmals die Beziehung zwischen der Viererkraft (die er als bewegende Kraft bezeichnete) und der Viererbeschleunigung entsprechend ${\displaystyle ma^{\mu }=F^{\mu }}$. 1908 bezeichnete er die zweite Ableitung von ${\displaystyle x,y,z,t}$ nach der Eigenzeit als Beschleunigungsvektor (Viererbeschleunigung).[H 16] Er zeigte, dass ihre Norm an einem beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ der Weltlinie den Wert ${\displaystyle c^{2}/\varrho }$ hat, wo ${\displaystyle \varrho }$ die Norm eines Vektors ist, der vom Zentrum der entsprechenden Krümmungshyperbel nach ${\displaystyle P}$ gerichtet ist.

Der Begriff der Hyperbelbewegung wurde 1909 von Max Born für die Bewegung mit konstanter Norm der Viererbeschleunigung eingeführt, und zwar im Zusammenhang mit seiner Studie der Bornschen Starrheit.[H 11] Er setzte ${\displaystyle {\vec {p}}=\mathrm {d} {\vec {x}}/\mathrm {d} \tau }$ (heute als Eigengeschwindigkeit bezeichnet) und ${\displaystyle q=-\mathrm {d} t/\mathrm {d} \tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}}$ als Lorentzfaktor und ${\displaystyle \tau }$ als Eigenzeit. Dadurch erhielt er die Transformationsformeln

${\displaystyle x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi }$,

welche (6a) entsprechen mit ${\displaystyle \xi =c^{2}/\alpha }$ und ${\displaystyle p=c\sinh(\alpha \tau /c)}$. Durch Elimination von ${\displaystyle p}$ erhielt Born die Hyperbelgleichung ${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}}$, und definierte die Norm dieser Beschleunigung mit ${\displaystyle b=c^{2}/\xi }$. Er bemerkte, dass dies auch als Transformation in ein hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem aufgefasst werden kann. Diese Untersuchungen wurden von Gustav Herglotz[H 12] 1909 auf alle möglichen Fälle von starr beschleunigten Bewegungen, einschließlich gleichförmiger Kreisbewegung, erweitert.

Arnold Sommerfeld[H 17] brachte 1910 Borns Formeln für die Hyperbelbewegung in eine klarere Form mit ${\displaystyle l=\mathrm {i} ct}$ als imaginärer Zeitkoordinate und ${\displaystyle \varphi }$ als imaginärem Winkel:

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi }$

Er bemerkte, wenn ${\displaystyle r,y,z}$ variabel und ${\displaystyle \varphi }$ konstant ist, dann beschreiben sie die Weltlinie eines geladenen Körpers in Hyperbelbewegung. Wenn aber ${\displaystyle r,y,z}$ konstant und ${\displaystyle \varphi }$ variabel ist, dann beschreiben sie die Transformation in das Ruhesystem. Diese Gleichungen wurden von Max von Laue in der ersten Ausgabe von „Das Relativitätsprinzip“ nochmals verifiziert.[H 2]

1911 benutzte Sommerfeld[H 3] erstmals explizit d​en Ausdruck "Eigenbeschleunigung" für d​ie Beschleunigung i​m momentanen Inertialsystem. Herglotz[H 4] bezeichnete d​iese als „Ruhbeschleunigung“ s​tatt Eigenbeschleunigung. Ebenfalls 1911 ersetzte v​on Laue[H 7] i​n der zweiten Edition seines Buches d​ie Transformation d​er Dreierbeschleunigung d​urch Minkowskis Beschleunigungsvektor, für d​en er erstmals d​en Ausdruck „Viererbeschleunigung“ gebrauchte, u​nd zeigte, d​ass die Norm d​er Viererbeschleunigung d​ie Ruhebeschleunigung ergibt.

Literatur

• V. Petkov A. Ashtekar: Springer Handbook of Spacetime. Springer, 2014, ISBN 3-642-41992-5.
• D. Bini, L. Lusanna, B. Mashhoon: Limitations of radar coordinates. In: International Journal of Modern Physics D. 14, Nr. 8, 2005, S. 1413–1429. arxiv:gr-qc/0409052. doi:10.1142/S0218271805006961.
• R. Ferraro: Einstein’s Space-Time: An Introduction to Special and General Relativity. Spektrum, 2007, ISBN 0-387-69946-5.
• P. Fraundorf: A traveler-centered intro to kinematics. In: Arxiv. 2012, S. IV-B. arxiv:1206.2877.
• A.P. French: Special Relativity. CRC Press, 1968, ISBN 1-4200-7481-4.
• J. Freund: Special Relativity for Beginners: A Textbook for Undergraduates. World Scientific, 2008, ISBN 981-277-159-X.
• E. Gourgoulhon: Special Relativity in General Frames: From Particles to Astrophysics. Springer, 2013, ISBN 3-642-37276-7.
• M. von Laue: Die Relativitätstheorie, Band 1, fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”. Auflage, Vieweg, 1921.; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.
• D. Koks: Explorations in Mathematical Physics. Springer, 2006, ISBN 0-387-30943-8.
• Kopeikin, S.; Efroimsky, M.; Kaplan, G.: Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 3-527-40856-8.
• Arthur I. Miller: Albert Einstein’s special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911). Addison–Wesley, Reading 1981, ISBN 0-201-04679-2.
• Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A.: Gravitation. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
• C. Møller: The theory of relativity. Oxford Clarendon Press, 1955/1952.
• H. Nikolić: Relativistic contraction and related effects in noninertial frames. In: Physical Review A. 61, Nr. 3, 2000, S. 032109. arxiv:gr-qc/9904078. doi:10.1103/PhysRevA.61.032109.
• Wolfgang Pauli: Die Relativitätstheorie. In: Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. 5, Nr. 2, 1921, S. 539–776.
• M. Vallisneri M. Pauri: Märzke-Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity. In: Foundations of Physics Letters. 13, Nr. 5, 2000, S. 401–425. arxiv:gr-qc/0006095. doi:10.1023/A:1007861914639.
• S. Nir J. Pfeffer: Modern Physics: An Introductory Text. World Scientific, 2012, ISBN 1-908979-57-7.
• A. Shadowitz: Special relativity, Reprint of 1968. Auflage, Courier Dover Publications, 1988, ISBN 0-486-65743-4.
• F. Rahaman: The Special Theory of Relativity: A Mathematical Approach. Springer, 2014, ISBN 81-322-2080-3.
• E. Rebhan: Theoretische Physik I. Spektrum, Heidelberg · Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8.
• W. Rindler: Essential Relativity. Springer, 1977, ISBN 3-540-07970-X.
• J. L. Synge: Timelike helices in flat space-time. In: Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. 1966, S. 27-42. JSTOR 20488646
• R.C. Tolman: The theory of the Relativity of Motion. University of California Press, 1917, OCLC 13129939.
• E. Zahar: Einstein’s Revolution: A Study in Heuristic. Open Court Publishing Company, 1989, ISBN 0-8126-9067-2.

Weblinks

• Transverse Mass in Einstein’s Electrodynamics, Accelerated Travels, Born Rigidity, Acceleration, and Inertia, Does A Uniformly Accelerating Charge Radiate? Mathpages
• Acceleration in Special Relativity, The Relativistic Rocket Physics FAQ

Einzelnachweise

1. Roger Penrose: The Road to Reality. New York 2005, S. 422.
2. Sexl & Schmidt (1979), p. 116
3. Møller (1955), p. 41
4. Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), S. 141
5. Rahaman (2014), S. 77
6. Tolman (1917), p. 48
7. French (1968), p. 148
8. Zahar (1989), p. 232
9. Freund (2008), p. 96
10. Pauli (1921), p. 627
11. Freund (2008), pp. 267-268
12. Ashtekar & Petkov (2014), p. 53
13. Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), p. 137
14. Rindler (1977), pp. 49-50
15. von Laue (1921), pp. 88-89
16. Rebhan (1999), p. 775
17. Nikolić (2000), eq. 10
18. Rindler (1977), p. 67
19. Sexl & Schmidt (1979), solution of example 16.2, p. 198
20. Freund (2008), p. 276
21. Møller (1955), pp. 74-75
22. Rindler (1977), pp. 89-90
23. von Laue (1921), p. 210
24. Pauli (1921), p. 635
25. Tolman (1917), pp. 73-74
26. Møller (1955), p. 73
27. Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), p. 173
28. von Laue (1921), p. 113
29. Shadowitz (1968), p. 101
30. Pfeffer & Nir (2012), p. 115, “In the special case in which the particle is momentarily at rest relative to the observer S, the force he measures will be the proper force”.
31. Møller (1955), p. 74
32. Rebhan (1999), p. 818
33. siehe Lorentz’s 1904-Gleichungen und Einstein’s 1905-Gleichungen im Abschnitt für Geschichte
34. Mathpages (siehe Weblinks), "Transverse Mass in Einstein’s Electrodynamics", eq. 2,3
35. Rindler (1977), p. 43
36. Koks (2006), section 7.1
37. Fraundorf (2012), section IV-B
38. PhysicsFAQ (2016), siehe Weblinks.
39. Pauri & Vallisneri (2000), eq. 13
40. Bini & Lusanna & Mashhoon (2005), eq. 28,29
41. Synge (1966)
42. Pauri & Vallisneri (2000), Appendix A
43. Misner & Thorne & Wheeler (1973), Section 6
44. Gourgoulhon (2013), entire book

Historische Arbeiten

1. Henri Poincaré: Sur la dynamique de l’électron. In: Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. 21, S. 129–176.
2. Max von Laue: Das Relativitätsprinzip. Vieweg, Braunschweig 1911.
3. Arnold Sommerfeld: Über die Struktur der gamma-Strahlen. In: Sitzungsberichte der mathematematisch-physikalischen Klasse der K. B. Akademie der Wissenschaften zu München. Nr. 1, 1911, S. 1–60.
4. G. Herglotz: Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 341, Nr. 13, 1911, S. 493–533. doi:10.1002/andp.19113411303.
5. Hendrik Antoon Lorentz: Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems. In: Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 1, 1899, S. 427–442.
6. Hendrik Antoon Lorentz: Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light. In: Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 6, 1904, S. 809–831.
7. Max von Laue: Das Relativitätsprinzip, 2. Ausgabe. Auflage, Vieweg, Braunschweig 1913.
8. Max Planck: Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik. In: Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft. 8, 1906, S. 136–141.
9. Henri Poincaré: Sur la dynamique de l’électron. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. 140, 1905, S. 1504–1508.
10. Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik. 322, Nr. 10, 1905, S. 891–921.; See also: English translation.
11. Max Born: Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips. In: Annalen der Physik. 335, Nr. 11, 1909, S. 1–56. doi:10.1002/andp.19093351102.
12. G. Herglotz: Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper. In: Annalen der Physik. 336, Nr. 2, S. 393–415. doi:10.1002/andp.19103360208.
13. Friedrich Kottler: Über die Raumzeitlinien der Minkowski’schen Welt. In: Wiener Sitzungsberichte 2a, Band 121, 1912, S. 1659-1759, hdl:2027/mdp.39015051107277 Friedrich Kottler: Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung. In: Annalen der Physik. 349, Nr. 13, 1913, S. 701-748. doi:10.1002/andp.19143491303. Friedrich Kottler: Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips. In: Annalen der Physik. 350, Nr. 20, 1913, S. 481-516. doi:10.1002/andp.19143502003.
14. Albert Einstein: Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. In: Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. 4, S. 411–462. bibcode:1908JRE.....4..411E.; English translation On the relativity principle and the conclusions drawn from it at Einstein paper project.
15. Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. , S. 53–111.
16. Hermann Minkowski: Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. September 1908. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. , Leipzig.
17. Arnold Sommerfeld: Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis. In: Annalen der Physik. 338, Nr. 14, 1910, S. 649–689. doi:10.1002/andp.19103381402.