Verkettungszeichen

Das Verkettungszeichen (${\displaystyle \circ }$), auch als Kreisoperator bezeichnet, ist ein mathematisches Zeichen, das die Verkettung zweier Funktionen, Relationen oder Wörter ausdrückt. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation, wird es oft auch weggelassen.

∘
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Verwendung

Verkettung von Funktionen

Das Verkettungszeichen wird häufig als mathematischer Operator für die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet. Sind ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ sowie ${\displaystyle g\colon B\to C}$ Funktionen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

notiert. Der Ausdruck „${\displaystyle g\circ f}$“ wird als „${\displaystyle g}$ verknüpft mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ komponiert mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ nach ${\displaystyle f}$“ oder „${\displaystyle g}$ Kringel ${\displaystyle f}$“ gelesen.[1][2][3] Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition ${\displaystyle g\circ f}$ von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst ${\displaystyle f}$ und dann ${\displaystyle g}$ angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und ${\displaystyle (f\circ g)(x)=g(f(x))}$ geschrieben.

Verkettung von Relationen

Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung binärer Relationen verwendet. Sind wieder ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ sowie ${\displaystyle S\subseteq B\times C}$ binäre Relationen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ durch

${\displaystyle S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists ~b\in B:(a,b)\in R\land (b,c)\in S\}}$

notiert. Das Resultat nennt man Relationsprodukt oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung ${\displaystyle R\circ S}$ verwendet.

Verkettung von Wörtern

In der theoretischen Informatik wird das Verkettungszeichen für die Konkatenation von Wörtern verwendet. Sind ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ und ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$ zwei Wörter über einem Alphabet, dann wird die Konkatenation von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch

${\displaystyle x\circ y=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$

notiert. Hierbei ist ${\displaystyle x}$ das Präfix und ${\displaystyle y}$ das Suffix des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer Konkatenation von Mengen.

Binäre Verknüpfungen

Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen ${\displaystyle \bullet }$, ${\displaystyle \ast }$ und ${\displaystyle \cdot }$ als Platzhalter für binäre Verknüpfungen allgemeiner algebraischer Strukturen eingesetzt.

Darstellung auf dem Computer

Kodierung

Das Verkettungszeichen w​ird folgendermaßen definiert u​nd kodiert:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∘	U+2218	ring operator	Kreisoperator	∘	∘		\circ

Ähnliche Zeichen

Ähnliche und verwandte Zeichen –
mit folgenden Zeichen besteht zum Teil Verwechslungsgefahr

Zeichen	Unicode		Name
	Position	Bezeichnung
o	U+006F	latin small letter o	Lateinischer Kleinbuchstabe o
°	U+00B0	degree sign	Gradzeichen
ο	U+03BF	greek small letter omicron	�
о	U+043E	cyrillic small letter о	Kyrillischer Kleinbuchstabe о
ₒ	U+2092	latin subscript small letter o	Tiefgestellter lateinischer Kleinbuchstabe o
○	U+25CB	white circle	Weißer Kreis
◦	U+25E6	white bullet	Weißes Aufzählungszeichen
⚬	U+26AC	medium small white circle	Mittlerer kleiner weißer Kreis
。	U+3002	ideographic full stop	Satzende in CJK-Schriftarten

Einzelnachweise

1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. Springer, 2009, S. 36.
2. Ehrhard Behrends: Analysis Band 1. Springer, 2014, S. 19.
3. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer, 2013, S. 43.

Weblinks

• Verkettungszeichen in Unicode