Toeplitz-Matrix

Toeplitz-Matrizen s​ind (endliche o​der unendliche) Matrizen m​it einer speziellen Struktur. Sie s​ind nach Otto Toeplitz benannt, d​er ihre algebraischen u​nd funktionalanalytischen Eigenschaften i​n dem 1911 erschienenen Artikel Zur Theorie d​er quadratischen u​nd bilinearen Formen v​on unendlichvielen Veränderlichen (Mathematische Annalen 70, S. 351–376) untersuchte.

Besetzungsmuster einer Toeplitz-Matrix der Größe 5×5

Definition

Eine Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge ${\displaystyle a_{ij}}$ nur von der Differenz ${\displaystyle i-j}$ der Indizes abhängen. Die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten ist somit durch die ${\displaystyle m+n-1}$ Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.

Beispiel

Hier ein Beispiel einer ${\displaystyle 4\times 5}$-Toeplitz-Matrix:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}}$

Eigenschaften

Quadratische Toeplitz-Matrizen sind persymmetrisch, das heißt, ihre Einträge ändern sich nicht, wenn sie an der Gegendiagonale der Matrix gespiegelt werden. Symmetrische Toeplitz-Matrizen sind sowohl bisymmetrisch als auch zentralsymmetrisch. Gilt bei einer quadratischen Toeplitz-Matrix ${\displaystyle a_{ij}=0}$ für alle ${\displaystyle |i-j|>1}$, so spricht man von einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte und Eigenvektoren von Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen lassen sich explizit angeben. Eine Blockmatrix, deren Blöcke eine Toeplitz-Struktur aufweisen, heißt Block-Toeplitz-Matrix.

Anwendung

Für große lineare Gleichungssysteme ${\displaystyle Ax=b}$, bei denen ${\displaystyle A}$ eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese Fourier-transformierbar sind, können die Operationen Matrizenmultiplikation und Matrixinversion auf einfache Multiplikationen bzw. Divisionen zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der schnellen Fourier-Transformation.

Siehe auch

• Hankel-Matrix, eine Matrix, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.

Literatur

• I. I. Volkov: Toeplitz matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).