Persymmetrische Matrix

Eine persymmetrische Matrix i​st in d​er Mathematik e​ine quadratische Matrix, d​ie symmetrisch bezüglich i​hrer Gegendiagonale ist.

Symmetriemuster einer persymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt persymmetrisch, wenn für ihre Einträge

${\displaystyle a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}}$

für ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ gilt.[1] Die Einträge einer persymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

Beispiele

Eine reelle persymmetrische Matrix der Größe ${\displaystyle 3\times 3}$ ist beispielsweise

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&2\\3&2&1\end{pmatrix}}}$

Allgemein haben persymmetrische Matrizen der Größe ${\displaystyle 3\times 3}$ die Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&b\\f&d&a\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in K}$.

Eigenschaften

Symmetrien

Mit der Permutationsmatrix ${\displaystyle J\in K^{n\times n}}$ definiert durch

${\displaystyle J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\cdot ^{\,\cdot ^{\,\cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}}$

lassen s​ich persymmetrische Matrizen a​uch kompakt d​urch die Bedingung

${\displaystyle JA=A^{T}J}$

charakterisieren.[2] Eine bisymmetrische Matrix i​st eine persymmetrische Matrix, d​ie zudem symmetrisch o​der zentralsymmetrisch ist. Eine Toeplitz-Matrix i​st eine persymmetrische Matrix, d​eren Einträge a​uf der Hauptdiagonale u​nd allen Nebendiagonalen konstant sind. Eine zyklische Matrix i​st eine persymmetrische Matrix, d​eren Einträge a​uf allen Diagonalen konstant s​ind und s​ich zyklisch wiederholen.

Summe und Produkt

Die Summe ${\displaystyle A+B}$ zweier persymmetrischer Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ergibt wieder eine persymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache ${\displaystyle cA}$ mit ${\displaystyle c\in K}$. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise persymmetrisch ist, bilden die persymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum ${\displaystyle K^{n\times n}}$.

Das Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ zweier persymmetrischer Matrizen ergibt aufgrund von

${\displaystyle JAB=A^{T}JB=A^{T}B^{T}J=(BA)^{T}J}$

genau dann wieder eine persymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kommutieren.

Inverse

Für die Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ einer persymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

${\displaystyle JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA^{T})^{-1}=A^{-T}J}$.

Die Inverse e​iner regulären persymmetrischen Matrix i​st demnach wieder persymmetrisch.[3]

Siehe auch

• Hankel-Matrix

Literatur

• Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, ISBN 978-1-4214-0794-4.
• Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Springer, 2008, ISBN 978-3-8348-0708-3.
• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-83940-2.

Einzelnachweise

1. Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Springer, 2008, S. 66.
2. Roger A. Horn, Charles Johnson: Matrix analysis. Cambridge University Press, 2013, S. 36.
3. Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, S. 208.