Tridiagonal-Toeplitz-Matrix

Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix i​st in d​er linearen Algebra e​ine Tridiagonalmatrix m​it konstanten Hauptdiagonal- u​nd Nebendiagonalelementen. Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen treten i​n der numerischen Mathematik r​echt häufig auf, beispielsweise b​ei der Berechnung kubischer Splines o​der bei d​er Diskretisierung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung i​n einer Raumdimension.

Besetzungsmuster einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix der Größe 5×5

Definition

Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ oder ${\displaystyle T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist eine quadratische Matrix der Form

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}a&c&&0\\b&\ddots &\ddots &\\&\ddots &\ddots &c\\0&&b&a\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ reelle oder komplexe Zahlen sind. Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ist damit sowohl eine spezielle Tridiagonalmatrix, bei der die Haupt- und Nebendiagonalelemente konstant sind, als auch eine spezielle Toeplitz-Matrix, bei der die Einträge außerhalb der Haupt- und Nebendiagonalen gleich null sind.

Eigenschaften

Lineare Gleichungssysteme der Form ${\displaystyle Tx=d}$ können effizient mit Hilfe des Thomas-Algorithmus, einer vereinfachten Variante der Gauß-Elimination, mit einem Aufwand der Ordnung ${\displaystyle O(n)}$ gelöst werden.

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer reellen Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ${\displaystyle T}$ lassen sich explizit angeben. Sind die Nebendiagonaleinträge ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ ungleich null, dann sind die Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ alle verschieden und durch

${\displaystyle \lambda _{k}=a+2{\sqrt {bc}}\cos \left({\frac {\pi k}{n+1}}\right)}$

mit ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ gegeben. Die zugehörigen Eigenvektoren sind

${\displaystyle v^{k}=\left(\left({\frac {b}{c}}\right)^{1/2}\sin \left({\frac {1\pi k}{n+1}}\right),\ldots ,\left({\frac {b}{c}}\right)^{n/2}\sin \left({\frac {n\pi k}{n+1}}\right)\right)}$.

Ist ${\displaystyle bc=0}$, so hat ${\displaystyle T}$ den einzigen Eigenwert ${\displaystyle a}$. Die zugehörigen Eigenvektoren sind dann die Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{1}}$, falls ${\displaystyle c\neq 0}$ ist, ${\displaystyle e_{n}}$, falls ${\displaystyle b\neq 0}$ ist, und ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$, falls ${\displaystyle b=c=0}$ sind. Die Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ sind damit genau dann reell, wenn ${\displaystyle bc\geq 0}$ gilt. Die Eigenwerte einer Triadiagonal-Toeplitz-Matrix werden beispielsweise bei der numerischen Stabilitätsanalyse des Crank-Nicolson-Verfahrens benötigt.

Siehe auch

• Blocktridiagonalmatrix
• Block-Toeplitz-Matrix

Literatur

• Albrecht Böttcher, Sergei M. Grudsky: Spectral Properties of Banded Toeplitz Matrices. SIAM, Philadelphia PA 2005, ISBN 0-89871-599-7, Kapitel 2.2.
• Silvia Noschese, Lionello Pasquini, Lothar Reichel: Tridiagonal Toeplitz matrices. Properties and novel applications. In: Numerical Linear Algebra with Applications. Band 20, Nr. 2: Special Issue: Inverse Problems Dedicated to Biswa Datta, 2013, ISSN 1070-5325, S. 302–326, doi:10.1002/nla.1811.