Bisymmetrische Matrix

Eine bisymmetrische Matrix o​der doppelt symmetrische Matrix i​st in d​er Mathematik e​ine quadratische Matrix, d​ie sowohl bezüglich i​hrer Hauptdiagonale, a​ls auch bezüglich i​hrer Gegendiagonale symmetrisch ist.

Symmetriemuster einer bisymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt bisymmetrisch, wenn für ihre Einträge

${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$   und   ${\displaystyle a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}}$

für ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ gilt.[1] Die Einträge einer bisymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

Beispiele

Bisymmetrische Matrizen der Größe ${\displaystyle 3\times 3}$ haben die allgemeine Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&b\\c&b&a\end{pmatrix}}}$

und diejenigen der Größe ${\displaystyle 4\times 4}$ die Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&c\\c&f&e&b\\d&c&b&a\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in K}$.

Eigenschaften

Symmetrien

Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix ${\displaystyle J\in K^{n\times n}}$ definiert durch

${\displaystyle J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\cdot ^{\,\cdot ^{\,\cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}}$

lassen s​ich bisymmetrische Matrizen a​uch kompakt d​urch die beiden Bedingungen

${\displaystyle A=A^{T}}$   und   ${\displaystyle JA=AJ}$

charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix ${\displaystyle J}$ von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.[2]

Summe und Produkt

Die Summe ${\displaystyle A+B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache ${\displaystyle cA}$ mit ${\displaystyle c\in K}$. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum ${\displaystyle K^{n\times n}}$.

Das Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kommutieren.

Inverse

Für Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

${\displaystyle A^{-1}=(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$   und   ${\displaystyle JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA)^{-1}=A^{-1}J}$.

Die Inverse e​iner regulären bisymmetrischen Matrix i​st demnach wieder bisymmetrisch.[3]

Siehe auch

• Hankel-Matrix
• Toeplitz-Matrix

Einzelnachweise

1. Thomas Muir: A Treatise on the Theory of Determinants. Dover, New York 1960, S. 19.
2. David Tao, Mark Yasuda: A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices. In: SIAM J. Matrix Anal. Appl. Band 23, Nr. 3, 2002, S. 885–895.
3. Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, S. 208.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bisymmetric Matrix. In: MathWorld (englisch).