Teilersumme

Unter der Teilersumme ${\displaystyle \sigma }$ einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also ${\displaystyle 1+2+3+6=12}$.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Seien ${\displaystyle t_{1},t_{2},...,t_{k}}$ alle Teiler der natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$, dann nennt man ${\displaystyle \sigma (n)=t_{1}+t_{2}+\dotsb +t_{k}}$ die Teilersumme von ${\displaystyle n}$. Dabei sind 1 und ${\displaystyle n}$ selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion ${\displaystyle \sigma }$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel o​ben kann m​an nun s​o schreiben:

${\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12}$

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Summe der Teiler von ${\displaystyle n}$ ohne die Zahl ${\displaystyle n}$ selbst und wir bezeichnen diese Summe mit ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)}$.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6}$

Offensichtlich g​ilt die Beziehung:

${\displaystyle \sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)}$

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$ heißt

defizient oder teilerarm, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)<n}$,

abundant oder teilerreich, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)>n}$,

vollkommen, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)=n}$.

Beispiele:

${\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6}$, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

${\displaystyle \sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12}$, d. h. 12 ist abundant.

${\displaystyle \sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10}$, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Sei ${\displaystyle n}$ eine Primzahl. Dann gilt:

${\displaystyle \sigma (n)=n+1}$

Beweis: Da ${\displaystyle n}$ eine Primzahl ist, sind 1 und ${\displaystyle n}$ die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei ${\displaystyle n}$ eine Primzahl und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dann gilt für die Potenz ${\displaystyle n^{k}}$ ganz allgemein:

${\displaystyle \sigma (n^{k})={\frac {n^{k+1}-1}{n-1}}}$

Beweis: Da ${\displaystyle n}$ eine Primzahl ist, hat ${\displaystyle n^{k}}$ nur die folgenden Teiler: ${\displaystyle n^{0},n^{1},\ldots ,n^{k}}$. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15}$

${\displaystyle \sigma (8)=1+2+4+8=15}$

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

${\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$

Beweis: Die Zahl ${\displaystyle ab}$ besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle ab}$. Daraus folgt:

${\displaystyle \sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24}$

${\displaystyle \sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24}$

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3

Seien ${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{r}}$ verschiedene Primzahlen und ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{r}}$ natürliche Zahlen. Ferner sei ${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}}}$. Dann gilt:

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}}$

Satz von Thabit

Mit Hilfe v​on Satz 4 k​ann man d​en Satz v​on Thabit a​us dem Gebiet d​er befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ seien ${\displaystyle x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1}$ und ${\displaystyle z=9\cdot 2^{2n-1}-1}$.

Wenn ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen ${\displaystyle a=2^{n}xy}$ und ${\displaystyle b=2^{n}z}$ befreundet, d. h. ${\displaystyle \sigma ^{*}(a)=b}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a}$.

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}$

Analog zeigt man ${\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a}$.

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von ${\displaystyle n}$ explizit Bezug genommen wird:

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}$

Beweis: Die Funktion

${\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots }$

wird 1, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

${\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\lim _{x\to n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu x}{\mu }}=\lim _{x\to n}{\frac {1}{2\mu }}\left(\sin 2\pi x\cot {\frac {\pi x}{\mu }}-1+\cos 2\pi x\right)=\lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\mu \sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}}$

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn ${\displaystyle x\to n}$ geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist. Dann ist aber

${\displaystyle \lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}=\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{x\to n}{\frac {2\pi \cos 2\pi x}{2{\frac {\pi }{\mu }}\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\mu }$

Nur in diesem Fall wird ${\displaystyle T(n,\mu )=1}$, wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt ${\displaystyle T(n,\mu )}$ mit ${\displaystyle \mu ^{k}}$ und summiert das Produkt über alle Werte ${\displaystyle \mu =1}$ bis ${\displaystyle \mu =n}$, so entsteht nur dann ein Beitrag ${\displaystyle \mu ^{k}}$ zur Summe, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots }$

deren Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ die einfache Teilersumme ${\displaystyle \sigma (n)}$ ist.

Siehe auch

• Inhaltskette
• Teilermenge

Literatur

• Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (MR1950084 – Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9 (MR2186914).
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7 (MR2119686).
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).