Teilermenge

Die Teilermenge einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Menge aller Teiler dieser Zahl. Sie besteht also aus allen natürlichen Zahlen, durch die man die Ausgangszahl ${\displaystyle n}$ ohne Rest teilen kann, und wird oft mit ${\displaystyle T_{n}}$ oder ${\displaystyle T(n)}$ bezeichnet.

Beispielsweise besteht d​ie Teilermenge d​er Zahl 12 a​us allen natürlichen Zahlen, d​urch die m​an die 12 o​hne Rest teilen kann, also

• 1 und 12 (denn 1·12=12, also 12:1=12 und 12:12=1)
• 2 und 6 (denn 2·6=12)
• 3 und 4 (denn 3·4=12)

Somit ist die Teilermenge ${\displaystyle T_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}}$

Der Übersicht halber i​st die Teilermenge h​ier geordnet notiert. Der kleinste Teiler multipliziert m​it dem größten ergibt d​ie untersuchte Zahl, u​nd ebenso d​as Produkt d​es zweitkleinsten m​it dem zweitgrößten Teiler u​nd so weiter. Diese Paare v​on Teilern heißen komplementäre Teiler.

Mit Hilfe d​er Primfaktorzerlegung lassen s​ich alle Teiler d​er Teilermenge schnell bestimmen, allerdings k​ennt man k​eine schnellen Verfahren z​ur Bestimmung d​er Primfaktorzerlegung.

Formale Definition

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle a}$ ist genau dann ein Teiler einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$, wenn es eine natürliche Zahl ${\displaystyle b}$ gibt, für die ${\displaystyle a\cdot b=n}$ gilt. Man schreibt dafür formal:

${\displaystyle a\mid n}$.

Selbstverständlich ist dann auch stets ${\displaystyle b\mid n}$; die Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ heißen komplementäre Teiler.

Die Teilermenge von ${\displaystyle n}$ ist

${\displaystyle T_{n}=\{d\in \mathbb {N} :d\mid n\}}$.

Teileranzahl

Wie viele Teiler eine Zahl hat (also, mathematisch ausgedrückt, die Mächtigkeit ihrer Teilermenge), lässt sich dieser Zahl nicht ohne Weiteres ansehen, kann aber mithilfe der Primfaktorzerlegung der Zahl berechnet werden. Diese Zuordnung heißt Teileranzahlfunktion. Ihre ersten Werte sind 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, … Die Eigenschaften dieser Funktion, insbesondere ihr Verhalten für große Werte von ${\displaystyle n}$, werden in der Zahlentheorie behandelt.

Triviale Teiler

Jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ hat mindestens zwei Teiler, nämlich ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle n}$. Diese Teiler heißen die trivialen Teiler. (Eine Ausnahme ist die Zahl ${\displaystyle 1}$, weil die beiden trivialen Teiler hier gleich sind; sie ist die einzige Zahl mit nur einem Teiler.)

Natürliche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, nennt man Primzahlen. Wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist, so gilt:

${\displaystyle T_{p}=\{1,p\}}$

Siehe auch

• Teilbarkeit
• Größter gemeinsamer Teiler und Kleinstes gemeinsames Vielfaches
• Vielfachenmenge
• Teilersumme

Weblinks

• Teilermenge einer Dezimalzahl berechnen mit Ausgabe der Ergebnisse in dezimaler, hexadezimaler und binärer Form
• Video: Teilermengen und Primzahlen. Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19879.