Stützhyperebene

Eine Stützhyperebene o​der stützende Hyperebene i​st in d​er Mathematik e​ine Hyperebene, d​ie den Rand e​iner gegebenen Teilmenge d​es euklidischen Raums s​o schneidet, d​ass die Menge vollständig i​n einem d​er beiden d​urch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Im zwei- u​nd dreidimensionalen Raum spricht m​an entsprechend a​uch von e​iner Stützgerade beziehungsweise e​iner Stützebene. Für e​ine konvexe Menge existiert a​n jedem Randpunkt e​ine Stützhyperebene, d​ie im Fall v​on glatten konvexen Mengen s​ogar eindeutig ist.

Stützhyperebene (gestrichelte Linie) und zugehöriger Stützhalbraum (hellblau) einer Menge S (lila)

Definition

Ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine Menge im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum , dann heißt eine Hyperebene ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ Stützhyperebene von ${\displaystyle S}$, wenn

${\displaystyle H\cap S\neq \emptyset }$

und

${\displaystyle S\subseteq H^{+}}$   oder   ${\displaystyle S\subseteq H^{-}}$

gelten, wobei ${\displaystyle H^{+}}$ und ${\displaystyle H^{-}}$ die beiden abgeschlossenen Halbräume zu ${\displaystyle H}$ sind.[1] Derjenige Halbraum, der die zweite Bedingung erfüllt, heißt dann Stützhalbraum von ${\displaystyle S}$. Ein Randpunkt von ${\displaystyle S}$, der auf einer Stützhyperebene liegt, wird auch Stützpunkt von ${\displaystyle S}$ genannt. Eine Stützhyperebene heißt eigentlich, wenn ${\displaystyle S\not \subset H}$ ist, ansonsten uneigentlich.[2]

Darstellung

Ist ${\displaystyle r\in \partial S}$ ein Randpunkt von ${\displaystyle S}$ und bezeichnet ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dann ist die Hyperebene

${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle v,x\rangle =\langle v,r\rangle \}}$

mit Normalenvektor ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ genau dann eine Stützhyperebene von ${\displaystyle S}$ durch den Stützpunkt ${\displaystyle r}$, wenn entweder

${\displaystyle \langle v,s\rangle \geq \langle v,r\rangle }$

für alle Punkte ${\displaystyle s\in S}$ oder

${\displaystyle \langle v,s\rangle \leq \langle v,r\rangle }$

für alle ${\displaystyle s\in S}$ gilt. Durch Orientierung des Normalenvektors, zum Beispiel in Richtung der Menge ${\displaystyle S}$, kann man sich auch auf einen der beiden Fälle beschränken.[3]

Stützhyperebenen bei konvexen Mengen

Bei einer nichtkonvexen Menge gibt es Randpunkte, an denen keine Stützhyperebene existiert

Existenzsatz

Der folgende Existenzsatz für konvexe Mengen g​eht auf Hermann Minkowski (1896) zurück:[4]

Bei einer konvexen Teilmenge des euklidischen Raums besitzt jeder Randpunkt mindestens eine Stützhyperebene.

Das bedeutet, dass bei einer konvexen Menge ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ zu jedem Randpunkt ${\displaystyle r\in \partial S}$ ein Vektor ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ existiert, sodass

${\displaystyle \langle v,s\rangle \geq \langle v,r\rangle }$

für alle ${\displaystyle s\in S}$ gilt. Bei einer konvexen Menge sind damit alle Randpunkte Stützpunkte.[5]

Beweis

Sei ${\displaystyle (r_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle r_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus {\bar {S}}}$ eine Folge von Punkten außerhalb des Abschlusses von ${\displaystyle S}$, die gegen den Randpunkt ${\displaystyle r}$ konvergiert (${\displaystyle r_{k}\to r}$). Nach dem Trennungssatz existiert nun durch jeden Punkt ${\displaystyle r_{k}}$ eine Hyperebene

${\displaystyle H_{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle v_{k},x\rangle =\langle v_{k},r_{k}\rangle \}}$,

sodass ${\displaystyle S\subset H_{k}^{+}}$ gilt. Werden nun die Vektoren ${\displaystyle v_{k}}$ auf die Länge eins normiert, dann ist die Folge ${\displaystyle (v_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ beschränkt und enthält damit nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge ${\displaystyle ({\tilde {v}}_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$. Ist ${\displaystyle v}$ der Grenzwert einer solchen Teilfolge (${\displaystyle {\tilde {v}}_{k}\to v}$), dann ergibt sich

${\displaystyle \langle v,r\rangle =\lim _{k\to \infty }\langle {\tilde {v}}_{k},r_{k}\rangle \leq \lim _{k\to \infty }\langle {\tilde {v}}_{k},s\rangle =\langle v,s\rangle }$

für alle ${\displaystyle s\in S}$. Damit ist die Hyperebene

${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle v,x\rangle =\langle v,r\rangle \}}$

eine Stützhyperebene im Stützpunkt ${\displaystyle r}$ mit zugehörigen Stützhalbraum ${\displaystyle H^{+}}$.[5]

Anmerkungen

Die Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss nicht eindeutig sein

Hat die Menge ${\displaystyle S}$ ein nichtleeres Inneres, ist also ${\displaystyle S^{\circ }\neq \emptyset }$, dann gilt auch die Umkehrung und ${\displaystyle S}$ ist konvex, wenn alle Randpunkte von ${\displaystyle S}$ Stützpunkte sind. Somit ergibt sich die folgende Charakterisierung konvexer Mengen:

Eine Teilmenge des euklidischen Raums mit nichtleerem Inneren ist genau dann konvex, wenn alle ihre Randpunkte Stützpunkte sind.

Die Menge ${\displaystyle S}$ ist dabei streng konvex, wenn jede Stützhyperebene an ${\displaystyle S}$ genau einen Stützpunkt enthält. Bei einer streng konvexen Menge sind damit die Stützhyperebenen zu verschiedenen Stützpunkten ebenfalls verschieden und jeder Randpunkt der Menge ist ein Extremalpunkt.[6] Ein verwandtes Resultat ist der Satz von Minkowski.

Eine Stützhyperebene d​urch einen gegebenen Stützpunkt m​uss jedoch n​icht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein, w​ie das Beispiel i​n der nebenstehenden Abbildung zeigt. Konvexe Mengen, b​ei denen d​ie Stützhyperebene d​urch einen gegebenen Randpunkt eindeutig ist, heißen glatt konvex.[7] Sie spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Theorie glatter Räume.

Verallgemeinerung

Stützhyperebenen werden allgemeiner auch in beliebigen topologischen Vektorräumen betrachtet. Eine Stützhyperebene an eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq V}$ eines topologischen Vektorraums ${\displaystyle V}$ im Randpunkt ${\displaystyle r\in \partial S}$ ist dann eine reelle Hyperebene

${\displaystyle H=\{v\in V\mid f(v)=f(r)\}}$,

wobei ${\displaystyle f\colon V\rightarrow \mathbb {R} }$ ein reelles lineares Funktional ist, welches nicht das Nullfunktional ist und dabei die Ungleichung

${\displaystyle f(s)\geq f(r)}$

für alle ${\displaystyle s\in S}$ erfüllt.[8] Ein solches Funktional wird auch als Stützfunktional an ${\displaystyle S}$ bezeichnet. Besitzt ein gegebener Randpunkt ${\displaystyle r\in \partial S}$ eine derartige Stützhyperebene (und damit ein derartiges Stützfunktional), so wird er als Stützpunkt der Teilmenge ${\displaystyle S}$ bezeichnet.[9]

Siehe auch

• Gleichdick, eine Fläche, bei der alle parallelen Stützgeraden den gleichen Abstand haben
• Stützlinie
• Stützstelle
• Stützvektor

Literatur

• Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5.
• Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, ISBN 978-3-8348-2011-2.
• Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54821-5.
• Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-24912-3.
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5910-3.

Einzelnachweise

1. Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. In: Graduate texts in mathematics. Nr. 168. Springer, New York 1996, ISBN 978-1-4612-8476-5, S. 12.
2. Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, S. 261.
3. Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, S. 35.
4. Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
5. Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, S. 247.
6. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 346.
7. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 108.
8. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 196.
9. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 66–67.

Weblinks

• Supporting hyperplane. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).