Trennungssatz

Der Trennungssatz (auch Satz v​on Eidelheit, benannt n​ach Meier Eidelheit) i​st ein mathematischer Satz über d​ie Möglichkeiten z​ur Trennung konvexer Mengen i​n normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) d​urch lineare Funktionale. Dabei handelt e​s sich u​m geometrische Folgerungen a​us dem Satz v​on Hahn-Banach. Wie dieser beruht d​aher der Trennungssatz a​uf einem nicht-konstruktiven Argument, w​ie dem Lemma v​on Zorn beziehungsweise d​em Auswahlaxiom.

Erste Formulierung

Die einfachste Version d​es Trennungssatzes lautet w​ie folgt:

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Seien weiter ${\displaystyle M\subset X}$ eine abgeschlossene konvexe Menge und ${\displaystyle x\in X\setminus M}$ . Dann existiert ein lineares stetiges Funktional ${\displaystyle \varphi \in X'}$ mit

${\displaystyle {\rm {Re}}(\varphi (x))<\inf\{{\rm {Re}}(\varphi (y))\ |\ y\in M\}}$ .

Hier bezeichnet ${\displaystyle {\rm {Re}}}$ den Realteil und ${\displaystyle X'}$ den topologischen Dualraum von ${\displaystyle X}$ . Man sagt dann: Das Funktional ${\displaystyle \varphi }$ trennt den Punkt ${\displaystyle x}$ von der Menge ${\displaystyle M}$ .

Weitere Formulierungen

In obiger Formulierung kann der Punkt ${\displaystyle x}$ durch eine kompakte konvexe Menge ersetzt werden. Man erhält dann den folgenden Satz:

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Seien weiter ${\displaystyle M\subset X}$ eine nicht-leere, abgeschlossene, konvexe Menge und ${\displaystyle K\subset X\setminus M}$ eine nicht-leere, kompakte, konvexe Menge. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional ${\displaystyle \varphi \in X'}$ mit

${\displaystyle \sup\{{\rm {Re}}(\varphi (x))\ |\ x\in K\}<\inf\{{\rm {Re}}(\varphi (y))\ |\ y\in M\}}$ .

Schließlich k​ommt man z​u einer schwächeren Trennungseigenschaft, w​enn man i​n obiger Version a​uf die Abgeschlossenheit u​nd Kompaktheit verzichtet:

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Seien weiter ${\displaystyle M_{1},M_{2}\subset X}$ nicht-leere, disjunkte, konvexe Mengen, ${\displaystyle M_{2}}$ sei offen. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional ${\displaystyle \varphi \in X'}$ mit

${\displaystyle \forall y\in M_{2}:\sup\{{\rm {Re}}(\varphi (x))\ |\ x\in M_{1}\}<{\rm {Re}}(\varphi (y))}$ .

Hyperebenen

Im Anschauungsraum ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ werden disjunkte konvexe Mengen durch Ebenen getrennt.

Mengen der Form ${\displaystyle \{x\in X;{\rm {Re}}(\varphi (x))=r\}}$ , wobei ${\displaystyle \varphi \in X'}$ und ${\displaystyle r\in {\mathbb {R} }}$ , sind abgeschlossene Hyperebenen. Sie zerlegen den Raum ${\displaystyle X}$ in einen oberen Halbraum ${\displaystyle \{x\in X;{\rm {Re}}(\varphi (x))\geq r\}}$ und einen unteren Halbraum ${\displaystyle \{x\in X;{\rm {Re}}(\varphi (x))\leq r\}}$ . Zu einer kompakten konvexen Menge und einer dazu disjunkten abgeschlossenen konvexen Menge kann man nach obigem Trennungssatz eine Hyperebene finden, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen, und zwar jeweils im Inneren dieser Halbräume. Man sagt, die Hyperebene trenne die beiden konvexen Mengen. Das ist im 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Fall besonders anschaulich, da die Hyperebenen in diesen Fällen Geraden bzw. Ebenen sind.

Die disjunkten, konvexen Mengen ${\displaystyle M_{1}}$ und ${\displaystyle M_{2}}$ lassen sich nicht durch offene Halbräume trennen.

Hat man zwei disjunkte konvexe Mengen in ${\displaystyle X}$ , von denen eine offen ist, so gibt es zu diesen nach der zuletzt genannten Version des Trennungssatzes ebenfalls eine Hyperebene, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen. Im Allgemeinen kann man aber nicht mehr erreichen, dass beide im Inneren der Halbräume liegen. Dazu betrachte man in ${\displaystyle X={\mathbb {R} }^{2}}$ die untere Halbebene ${\displaystyle M_{1}:=\{(x,y)\ |\ y\leq 0\}}$ und die offene Menge oberhalb des Graphen der Exponentialfunktion ${\displaystyle M_{2}:=\{(x,y)\ |\ y>e^{x}\}}$ . Wie durch nebenstehende Zeichnung verdeutlicht, ist ${\displaystyle \{(x,y)\ |\ \varphi (x,y)=0\}}$ mit ${\displaystyle \varphi (x,y):=y}$ die einzige trennende Hyperebene, und ${\displaystyle M_{1}}$ liegt nicht im Inneren des zugehörigen Halbraums.

Anwendungen

Dieser Satz h​at auch außerhalb d​er Funktionalanalysis v​iele wichtige Anwendungen u​nd stellt für v​iele Beweise e​in nicht-konstruktives Existenzargument dar, u​nter anderem:

• Existenz von Subdifferentialen für geeignet formulierte verallgemeinerte Richtungsableitungen.
• Beweis von Farkas’ Lemma, das heißt Anwendung in der konvexen Optimierung.
• Beweis des Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie für faire Preise von Derivaten im Mehr-Perioden-Modell.

Literatur

• Richard Kadison, John Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras (Graduate studies in mathematics; 15/16). American Mathematical Society, Providence, RI 1997 (EA 1983)

1. 1997, ISBN 0-8218-0819-2.
2. 1997, ISBN 0-8218-0820-6.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-21016-7 (EA Berlin 1995)