sl(2,R)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$. Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$.

Die Lie-Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\left\{A\in Mat(2,\mathbb {R} ):\operatorname {Spur} (A)=0\right\}}$

mit d​em Kommutator v​on Matrizen a​ls Lie-Klammer.

Als Vektorraum w​ird sie v​on der Basis

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

aufgespannt: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {R} }}$. Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

${\displaystyle [x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y}$

Eigenschaften und Struktur

Einfachheit

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein nichttriviales Ideal in ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ und sei ${\displaystyle ax+bh+cy\in {\mathfrak {a}}\setminus 0}$ mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$. Wenn ${\displaystyle a=c=0}$, dann ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}}$, damit ${\displaystyle 2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle 2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak {a}}}$, also ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$. Also können wir ${\displaystyle a\not =0}$ oder ${\displaystyle c\not =0}$ annehmen, o. B. d. A. ${\displaystyle a\not =0}$. Aus ${\displaystyle \left[y,\left[y,ax+bh+cy\right]\right]=\left[y,ah+2by\right]=ay}$ folgt dann ${\displaystyle y\in {\mathfrak {a}}}$ und damit auch ${\displaystyle h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak {a}}}$, also wieder ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$.

Killing-Form

Die Killing-Form von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ lässt sich explizit durch die Formel

${\displaystyle B(v,w)=4\operatorname {Spur} (vw)}$

berechnen, e​s ist also

${\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}$

${\displaystyle B(x,y)=4,\ B(x,h)=0,\ B(y,h)=0}$.

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

Die adjungierte Darstellung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

${\displaystyle Ad\colon SL(2,\mathbb {R} )\to O(2,1)}$

und man kann zeigen, dass ${\displaystyle Ad}$ ein Gruppenisomorphismus ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )\to SO(2,1)}$ ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ isomorph zu ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,1)}$.

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ist die Spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle K=SO(2)}$, ihre Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2)}$ ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)=\left\{A\in Mat(2,\mathbb {R} ):A^{T}=-A\right\}}$.

Eine Cartan-Involution von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist gegeben durch

${\displaystyle \theta (A)=-A^{T}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2)}$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle 1}$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\left\{A\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ):A=A^{T}\right\}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle -1}$ ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}$

mit ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2),\ {\mathfrak {a}}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n}}=\left\{{\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {R} \right\}}$.

Cartan-Unteralgebren

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)}$.[1]

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ist

${\displaystyle R=\left\{\alpha _{12}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\ \alpha _{21}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}}$.

Die dualen Wurzeln sind

${\displaystyle \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=2\lambda ,\ \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=-2\lambda }$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha _{12}}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ {\mathfrak {g}}_{\alpha _{21}}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Als positive Weyl-Kammer k​ann man

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{+}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda >0\right\}}$

wählen. Dann ist ${\displaystyle \alpha _{12}}$ die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{2}}$.

Darstellungen von sl(2,R)

Jede Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ entspricht durch Tensorieren mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -linearen Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$, man erhält also alle Darstellungen von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ pdf

Einzelnachweise

1. Anthony W. Knapp - Lie Groups beyond an Introduction, Chapter VI.6