Cartan-Unteralgebra
In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.
Definition
Es sei eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn
- für ein und
gilt.
Beispiele
Eine Cartan-Unteralgebra von
ist die Algebra der Diagonalmatrizen
- .
Jede Cartan-Unteralgebra ist zu konjugiert.
Dagegen hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich
und
- .
Existenz und Eindeutigkeit
Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen erzeugt wird (für in der Lie-Algebra und nilpotent).
Eigenschaften
Wenn eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung auf ist simultan diagonalisierbar mit als Eigenraum zum Gewicht . Das heißt, es gibt eine Zerlegung
mit
und
- .
Im Beispiel
ist, wenn die Elementarmatrix mit Eintrag an der Stelle und Einträgen sonst bezeichnet
mit für
- .
Literatur
- Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
- Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.