Iwasawa-Zerlegung

Die Iwasawa-Zerlegung halbeinfacher Lie-Gruppen verallgemeinert d​ie Tatsache, d​ass sich j​ede quadratische Matrix a​uf eindeutige Weise a​ls Produkt a​us einer orthogonalen Matrix u​nd einer oberen Dreiecksmatrix darstellen lässt. Sie i​st nach Kenkichi Iwasawa (1949) benannt, d​er sie für reelle halbeinfache Liegruppen einführte.

Spezialfall: Matrizen

Ein Spezialfall ist die eindeutige Darstellung jedes Elementes der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle {\textrm {SL}}(n,\mathbb {R} )}$ als Produkt von drei Elementen.

Sei ${\displaystyle K}$ die spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle {\textrm {SO}}(n,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle A}$ die Menge der Diagonalmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen, deren Produkt ${\displaystyle 1}$ beträgt, und ${\displaystyle N}$ die Menge der Dreiecksmatrizen, auf deren Diagonalen überall Einsen stehen. Dann existieren für jedes   ${\displaystyle g\in {\textrm {SL}}(n,\mathbb {R} )}$   eindeutig bestimmte   ${\displaystyle k\in K,a\in A,n\in N}$  derart, dass ${\displaystyle g=kan}$. (Vergleiche QR-Zerlegung.)

Allgemeiner Fall

Sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe. Dann gibt es eine Zerlegung

${\displaystyle G=KAN}$

mit einer kompakten Untergruppe ${\displaystyle K}$, einer abelschen Untergruppe ${\displaystyle A}$ und einer nilpotenten Untergruppe ${\displaystyle N}$, so dass sich jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ auf eindeutige Weise als Produkt

${\displaystyle g=kan}$

mit ${\displaystyle k\in K,a\in A,n\in N}$ zerlegen lässt.

Die Zerlegung ${\displaystyle G=KAN}$ ist nicht eindeutig bestimmt. Jede Zerlegung mit den obigen Eigenschaften heißt Iwasawa-Zerlegung.

Die Methode i​st benannt n​ach ihrem Entwickler Iwasawa Kenkichi.

Literatur

• Lexikon der Mathematik, Spektrum-Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1159-9
• James Humphreys: Arithmetic groups, Springer-Verlag, 1980, ISBN 0-387-09972-7