Weyl-Gruppe

In d​er Mathematik i​st die Weyl-Gruppe e​in wichtiges Hilfsmittel z​ur Untersuchung v​on Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren u​nd allgemeiner v​on Wurzelsystemen. Sie i​st nach Hermann Weyl benannt, d​er 1925 i​hre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

Es sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe und

${\displaystyle G=KAN}$

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{G}(A)}$ der Normalisator von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{G}(A)}$ der Zentralisator von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G}$. Die Weyl-Gruppe ist definiert als

${\displaystyle W={\mathcal {N}}_{G}(A)/{\mathcal {Z}}_{G}(A)}$.

Sie i​st eine endliche Gruppe, d​ie von Elementen d​er Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

→ Hauptartikel: Wurzelsystem

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum ${\displaystyle V}$, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

${\displaystyle \left\{s_{\mathrm {A} }:\mathrm {A} \in R\right\}}$

erzeugte Gruppe ${\displaystyle W}$ die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ und das dazugehörige Wurzelsystem ${\displaystyle R}$. Die Weyl-Gruppe von ${\displaystyle ({\mathfrak {a}},R)}$ stimmt mit der Weyl-Gruppe von ${\displaystyle G}$ überein.

Längstes Element

Das längste Element d​er Weyl-Gruppe (zu e​inem gegebenen Wurzelsystem) i​st das Element maximaler Länge bzgl. d​es durch Spiegelungen a​n den v​on Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$. Das längste Element ist die Permutation ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n-1,n)\to (n,n-1,\ldots ,2,1)}$.

Literatur

• Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2

Weblinks

• Alexander Kirillov: An introduction to Lie groups and Lie algebras, PDF (Kapitel 8)
• Encyclopedia of Mathematics, A. S. Fedenko