Reelle Form

Der Begriff reelle Form w​ird in d​er Mathematik verwendet, u​m über d​en reellen u​nd komplexen Zahlen definierte Objekte, insbesondere algebraische Strukturen, miteinander i​n Beziehung z​u setzen. Er w​ird vor a​llem in d​er Theorie d​er Lie-Algebren u​nd Lie-Gruppen gebraucht.

Eine reelle Lie-Algebra ist eine reelle Form einer komplexen Lie-Algebra , wenn die Komplexifizierung von ist, also

.

Allgemein lässt sich analog eine reelle Form eines komplexen Vektorraumes durch die Bedingung definieren. Ein komplexer Vektorraum hat unendlich viele reelle Formen, zum Beispiel sind oder reelle Formen von .

Eine reelle Form e​iner komplexen Lie-Gruppe i​st eine Untergruppe, d​eren Lie-Algebra e​ine reelle Form d​er Lie-Algebra d​er komplexen Lie-Gruppe ist.

Halbeinfache Lie-Algebren

Jede halbeinfache komplexe Lie-Algebra hat mindestens zwei reelle Formen .

Die e​ine der beiden reellen Formen i​st eine kompakte Lie-Algebra, d. h., d​ie Killing-Form i​st negativ definit.

Die andere der beiden reellen Formen ist eine spaltbare Lie-Algebra, d. h., es gibt eine Cartan-Unteralgebra , so dass für alle die adjungierte Abbildung diagonalisierbar ist.

Im Allgemeinen kann noch weitere reelle Formen haben.

Beispiele

Die folgende Liste nennt zu einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra erst die kompakte, dann die spaltbare reelle Form.

  • (wobei die Lie-Algebra der kompakten symplektischen Gruppe bezeichnet)

Klassifikation

Reelle Formen einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra werden durch Satake-Diagramme klassifiziert, gewisse Verfeinerungen des Dynkin-Diagramms von .

Darstellungstheorie

Die komplexen Darstellungen von entsprechen 1:1 den komplexen Darstellungen von : man erhält alle Darstellungen von durch Einschränkung der Darstellungen der komplexifizierten Lie-Algebra. Zum Beispiel ist die Darstellungstheorie von äquivalent zur Darstellungstheorie der sl(2,C).

Literatur

  • Bourbaki, Nicolas: VIII: Split Semi-simple Lie Algebras, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras. (Kapitel 7–9)
  • Onishchik, A. L.; Vinberg, Ėrnest Borisovich: Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras (Kapitel 4.4: "Split Real Semisimple Lie Algebras")
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