Reelle Form

Der Begriff reelle Form w​ird in d​er Mathematik verwendet, u​m über d​en reellen u​nd komplexen Zahlen definierte Objekte, insbesondere algebraische Strukturen, miteinander i​n Beziehung z​u setzen. Er w​ird vor a​llem in d​er Theorie d​er Lie-Algebren u​nd Lie-Gruppen gebraucht.

Eine reelle Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist eine reelle Form einer komplexen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ die Komplexifizierung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist, also

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Allgemein lässt sich analog eine reelle Form ${\displaystyle V}$ eines komplexen Vektorraumes ${\displaystyle W}$ durch die Bedingung ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =W}$ definieren. Ein komplexer Vektorraum hat unendlich viele reelle Formen, zum Beispiel sind ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder ${\displaystyle (i\mathbb {R} )^{n}}$ reelle Formen von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Eine reelle Form e​iner komplexen Lie-Gruppe i​st eine Untergruppe, d​eren Lie-Algebra e​ine reelle Form d​er Lie-Algebra d​er komplexen Lie-Gruppe ist.

Halbeinfache Lie-Algebren

Jede halbeinfache komplexe Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ hat mindestens zwei reelle Formen ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Die e​ine der beiden reellen Formen i​st eine kompakte Lie-Algebra, d. h., d​ie Killing-Form i​st negativ definit.

Die andere der beiden reellen Formen ist eine spaltbare Lie-Algebra, d. h., es gibt eine Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$, so dass für alle ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ die adjungierte Abbildung ${\displaystyle ad(h)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ diagonalisierbar ist.

Im Allgemeinen kann ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ noch weitere reelle Formen haben.

Beispiele

Die folgende Liste nennt zu einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ erst die kompakte, dann die spaltbare reelle Form.

• ${\displaystyle sl(n,\mathbb {C} ):su(n),sl(n,\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle so(2n+1,\mathbb {C} ):so(2n+1),so(n,n+1,\mathbb {C} )}$
• ${\displaystyle so(2n,\mathbb {C} ):so(2n),so(n,n,\mathbb {C} )}$
• ${\displaystyle sp(n,\mathbb {C} ):sp(n),sp(n,\mathbb {R} )}$ (wobei ${\displaystyle sp(n)}$ die Lie-Algebra der kompakten symplektischen Gruppe bezeichnet)

Klassifikation

Reelle Formen einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ werden durch Satake-Diagramme klassifiziert, gewisse Verfeinerungen des Dynkin-Diagramms von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$.

Darstellungstheorie

Die komplexen Darstellungen von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ entsprechen 1:1 den komplexen Darstellungen von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} }$: man erhält alle Darstellungen von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ durch Einschränkung der Darstellungen der komplexifizierten Lie-Algebra. Zum Beispiel ist die Darstellungstheorie von ${\displaystyle su(2)}$ äquivalent zur Darstellungstheorie der sl(2,C).

Literatur

• Bourbaki, Nicolas: VIII: Split Semi-simple Lie Algebras, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras. (Kapitel 7–9)
• Onishchik, A. L.; Vinberg, Ėrnest Borisovich: Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras (Kapitel 4.4: "Split Real Semisimple Lie Algebras")

Weblinks

• The compact and split real forms of a semi-simple Lie algebra
• Maple Online Help