Satz von Commandino

Der Satz v​on Commandino i​st ein Lehrsatz d​er Raumgeometrie, welcher a​uf den italienischen Mathematiker Federigo Commandino (1506–1575)[1][2] zurückgeht. Er behandelt e​ine elementare Durchschnittseigenschaft d​er Mittellinien (engl. medians)[3] d​es allgemeinen Tetraeders. Der Satz i​st das dreidimensionale Analogon d​es Durchschnittssatzes über d​ie Seitenhalbierenden i​n der Dreiecksgeometrie.

Mediane eines Tetraeders
mit Schwerpunkt S

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ . Jeder der vier Eckpunkte ${\displaystyle X=A,\,B,\,C,\,D}$ von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist mit dem Schwerpunkt[4] ${\displaystyle {S'}_{X}}$ der gegenüberliegenden Dreiecksfläche ${\displaystyle \Delta '_{X}}$ durch eine Gerade verbunden, nämlich durch die zu ${\displaystyle X}$ gehörige Mittellinie   ${\displaystyle m_{X}\subset \mathbb {R} ^{3}}$.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt  ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{X=A,\,B,\,C,\,D}{m_{X}}}$  der vier Mittellinien besteht aus genau einem Punkt.

Dies ist der Schwerpunkt ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ des Tetraeders ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Dabei beträgt das Teilverhältnis ${\displaystyle \lambda }$, in dem der Schwerpunkt ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {{{S'}_{X}}X}}}$ zweiteilt, stets   ${\displaystyle \lambda }$ = 1 : 3   und der Eckpunkt ${\displaystyle X}$ ist stets Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken.[5]

Ein Beweis d​es Satzes i​st in d​em Artikel Baryzentrische Koordinaten enthalten.

Verallgemeinerungen

Der d​em Satz v​on Commandino entsprechende Sachverhalt g​ilt für Simplexe beliebiger Dimension:[6]

Ist ${\displaystyle \Delta }$ ein ${\displaystyle p}$-Simplex beliebiger Dimension ${\displaystyle p>1}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(p,n\in \mathbb {N} ,n\geq p)}$ und sind ${\displaystyle X(0),X(1),\dots ,X(p)}$ seine Eckpunkte, so treffen sich die Mittellinien   ${\displaystyle m_{X(0)},m_{X(1)},\dots ,m_{X(p)}}$, also die Verbindungsgeraden der ${\displaystyle \Delta }$-Eckpunkte ${\displaystyle X(i)(i=0,1,\dots ,p)}$ mit den Schwerpunkten ${\displaystyle S'_{X(i)}}$ der jeweils gegenüberliegenden ${\displaystyle (p-1)}$-dimensionalen Seitenflächen ${\displaystyle \Delta '_{X(i)}}$ , genau im Schwerpunkt ${\displaystyle S(\Delta )}$ des ${\displaystyle p}$-Simplexes.

Dabei ist das Teilverhältnis, in dem der Schwerpunkt ${\displaystyle S(\Delta )}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {{S'_{X(i)}}{X(i)}}}}$ zweiteilt, gleich   ${\displaystyle 1:p}$  .   ${\displaystyle X(i)}$ ist also Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken und der Abstand zwischen ${\displaystyle X(i)}$ und ${\displaystyle S(\Delta )}$ ist stets das ${\displaystyle {\tfrac {p}{p+1}}}$-fache des Abstandes zwischen ${\displaystyle X(i)}$ und ${\displaystyle S'_{X(i)}}$.

Allgemeiner Satz

In voller Allgemeinheit g​ilt sogar d​er folgende Satz, d​er eine grundlegende Beziehung ausweist, welche d​em Hebelgesetz d​er Physik entspricht:[7]

Gegeben seien natürliche Zahlen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle k}$ sowie dazu in einem ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$   ${\displaystyle m+k}$ paarweise verschiedene Punkte ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$.

Der Schwerpunkt dieser ${\displaystyle m+k}$ Punkte sei ${\displaystyle S}$, während ${\displaystyle S_{X}}$ der Schwerpunkt der ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$ und ${\displaystyle S_{Y}}$ derjenige der ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ sein möge.

Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})\\&={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}\\\end{aligned}}}$

Der Schwerpunkt ${\displaystyle S}$ liegt demnach auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ und teilt diese im Verhältnis ${\displaystyle k:m}$.

Der Lehrsatz von Reusch

Der o​bige allgemeine Satz schließt n​icht nur d​ie obige Verallgemeinerung d​es Satzes v​on Commandino (und d​amit diesen selbst) i​n sich ein,[8] sondern offenbar a​uch einen weiteren interessanten Satz über d​ie Schwerpunkte d​er Tetraeder, d​er nach d​en Mathematische Unterhaltungen v​on Friedrich Joseph Pythagoras Riecke[9] a​uf den Tübinger Professor d​er Physik Friedrich Eduard Reusch zurückgeht u​nd sich w​ie folgt darstellen lässt:[10][11]

Man findet den Schwerpunkt eines Tetraeders, indem man zu zwei Paaren gegenüberliegender Kanten die Mittelpunkte bestimmt und die beiden paarweise gegenüberliegenden Kantenmittelpunkte durch die zugehörigen Mittellinien verbindet. Der Schnittpunkt der beiden so gewonnenen Mittellinien ist der Schwerpunkt des Tetraeders.

In Verbindung m​it der Tatsache, d​ass ein Tetraeder g​enau drei Paare gegenüberliegender Kanten hat, entnimmt m​an dem Lehrsatz v​on Reusch n​och das folgende Resultat:[10]

In einem Tetraeder schneiden sich die drei zu gegenüberliegenden Kantenmittelpunkten gehörigen Mittellinien in einem Punkt, nämlich im Schwerpunkt des Tetraeders.

Der Lehrsatz von Varignon

Im Zusammenhang m​it dem obigen allgemeinen Satz i​st neben d​em Lehrsatz v​on Reusch a​uch ein verwandter Lehrsatz v​on Pierre d​e Varignon über d​ie Schwerpunkte v​on Vierecken i​m euklidischen Raum z​u nennen. Dieser Lehrsatz, d​er auch a​ls Satz v​on Varignon bezeichnet wird, besagt folgendes:[12][13]

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)}$ sei ein Viereck mit vier verschiedenen Eckpunkten gegeben, welche nicht notwendig in einer Ebene liegen müssen.

Dann gilt:

Die beiden Mittellinien, also die beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte, schneiden sich im Eckenschwerpunkt der vier Eckpunkte und werden dabei von diesem jeweils halbiert.

Siehe auch

• Satz von Varignon
• Diagonalensatz

Literatur

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx NY 1964, OCLC 1597161.
• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1963 (MR0692941).
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u. a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3.
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873).
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx NY 1964, OCLC 1597161, S. 57, 339.
2. Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u. a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3, S. 438.
3. Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx NY 1964, S. 57.
4. Hier ist unter Schwerpunkt stets Eckenschwerpunkt zu verstehen.
5. Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx NY 1964, S. 57–58.
6. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 33 (MR0533264).
7. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 31.
8. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 31 ff.
9. Vgl. Artikel über Riecke auf Wikisource
10. Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, S. 100, 128
11. In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
12. Coxeter, op. cit., S. 242
13. DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652