Diagonalensatz

Der Diagonalensatz i​st ein Lehrsatz d​er Elementargeometrie, m​it dem e​ine charakteristische Bedingung formuliert wird, u​nter der e​in Viereck d​er euklidischen Ebene e​in Parallelogramm ist.

Formulierung des Satzes

Parallelogramm mit Diagonalen

Der Satz besagt folgendes:[1]

Gegeben sei ein Viereck ${\displaystyle \square {ABCD}}$ der euklidischen Ebene.

Dann gilt:

${\displaystyle \square {ABCD}}$ ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

Herleitung mittels Vektorrechnung

Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt ${\displaystyle S}$ gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen ${\displaystyle {\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}}$ bestehen.

Daraus folgert man:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}}$.

Genauso ergibt sich:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}}$.

Dies beweist d​en Satz.

Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen

Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}}$ über kommutativen Körpern ${\displaystyle K}$ einer Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$ ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:[2]

Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte ${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}$.

Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

(A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:

Es sind ${\displaystyle {A\vee B}\parallel {C\vee D}}$ und ${\displaystyle {A\vee D}\parallel {B\vee C}}$.[3]

(A2) Die beiden Diagonalen ${\displaystyle {A\vee C}}$ und ${\displaystyle {B\vee D}}$ schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:

Es gilt ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)}$ .

Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2

Für einen kommutativen Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=2}$ ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.[4]

Siehe auch

• Satz von Varignon
• Satz von Commandino

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0.
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
2. Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 59
3. Für zwei Punkte ${\displaystyle X,Y\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}$ ist ${\displaystyle {X\vee Y}}$ die Verbindungsgerade.
4. Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 60