Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung
Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Voraussetzung

Behauptung

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises
  1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
  2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
  3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen

Umfang des Varignon-Parallelogramms

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Trivia

Der sogenannte Varignon'scher Apparat ist eine profane Anwendung der mathematischen Lehrsätze und kann zur Standortoptimierung eingesetzt werden. Auf einer Tischplatte werden mehrere Standorte maßstabsgetreu eingezeichnet. An diesen Standorten werden Löcher gebohrt, durch welche Fäden gezogen werden. Die Enden aller Fäden werden auf der Tischoberseite zusammengeknotet. Unterhalb der Tischplatte werden der beteiligten entsprechende Gewichte an die Fäden gehängt. Als Gewicht nimmt man beispielsweise eine Personenanzahl oder Einwohneranzahl, um die Gewichtung des Standorts auszudrücken.  Die Kräfte, die nun wirken, ziehen den Knotenpunkt auf der Oberfläche der Platte zum optimalen Standorts.[1]

Siehe auch

Literatur
  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
  • Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
  • Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

Einzelnachweise
  1. MathePrisma. Abgerufen am 17. August 2020.
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