Absolutkonvexe Menge

Absolutkonvexe Mengen spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Theorie d​er lokalkonvexen Räume, d​a sie i​n natürlicher Weise z​u Halbnormen führen.

Definition

Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathbb {K} }}$ mit ${\displaystyle |\lambda |+|\mu |\leq 1}$ und alle ${\displaystyle x,y\in A}$ stets ${\displaystyle \lambda x+\mu y\in A}$ gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht ${\displaystyle {\mathbb {K} }}$ für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

Beziehung zu Halbnormen

Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{t>0\,\left|\,x\in tU\right.\right\}}$ eine Halbnorm auf E. Es gilt

${\displaystyle U^{\circ }=\left\{x\in E\,\left|\,p_{U}(x)<1\right.\right\}\subset U\subset \left\{x\in E\,\left|\,p_{U}(x)\leq 1\right.\right\}={\overline {U}}}$ .

Man nennt ${\displaystyle p_{U}}$ auch das Minkowski-Funktional zu U.

Leicht z​eigt man, d​ass jeder lokalkonvexe Vektorraum e​ine Nullumgebungsbasis a​us absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe d​er Minkowski-Funktionale k​ann man d​ie Topologie a​lso auch d​urch Halbnormen beschreiben. Dies klärt d​en Zusammenhang zwischen d​en beiden i​m Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.

Absolutkonvexe Hülle

Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle ${\displaystyle \Gamma M}$ von M. Es gilt ${\displaystyle \Gamma M=\left\{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\,\left|\,\lambda _{j}\in {\mathbb {K} },\,\sum _{j=1}^{n}\left|\lambda _{j}\right|\leq 1,\,x_{j}\in M,\,n\in {\mathbb {N} }\right.\right\}.}$

Quelle

• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 978-3-528-07262-9