Quasinormierbarer Raum

Quasinormierbare Räume bilden e​ine im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtete Klasse lokalkonvexer Räume. Diese a​uf A. Grothendieck zurückgehende Begriffsbildung erlaubt e​ine Charakterisierung v​on Schwartzräumen. Man findet i​n der Literatur a​uch die Bezeichnung quasinormabel.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ heißt quasinormierbar, falls es zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle U}$ eine weitere Nullumgebung ${\displaystyle V}$ gibt, so dass man zu jedem ${\displaystyle \lambda >0}$ eine beschränkte Menge ${\displaystyle B\subset E}$ mit ${\displaystyle V\subset B+\lambda U}$ finden kann.

Würde diese Bedingung sogar für ${\displaystyle \lambda =0}$ gelten, so wäre ${\displaystyle V}$ eine beschränkte Nullumgebung und damit der Raum ${\displaystyle E}$ normierbar. Diese Betrachtung rechtfertigt den Namen quasinormierbar.

Beispiele

• Normierte Räume sind quasinormierbar, da man als ${\displaystyle V}$ in obiger Definition eine beschränkte Nullumgebung wählen kann, zum Beispiel die offene Einheitskugel. Dann gilt ${\displaystyle V\subset V+\lambda U}$ für jedes ${\displaystyle \lambda >0}$, sogar für ${\displaystyle \lambda =0}$.
• (DF)-Räume sind quasinormierbar.
• Schwartz-Räume sind quasinormierbar.

Eine der Charakterisierungen der Schwartz-Räume besteht gerade darin, dass man in obiger Definition die beschränkte Menge ${\displaystyle B}$ sogar endlich wählen kann. Man kann sich nun fragen, welche Bedingung umgekehrt ein quasinormierbarer Raum erfüllen muss, um ein Schwartz-Raum zu sein. Es gilt folgender Satz:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn er quasinormierbar ist und jede beschränkte Menge präkompakt ist.

Eigenschaften

• Ein abzählbares Produkt von quasinormierbaren Räumen ist mit der Produkttopologie wieder quasinormierbar.
• Quasinormierbare Fréchet-Räume sind distinguiert.

Quellen

• Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium 62 Aufbaukurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.
• M. P. Katz: Every DF-space is quasinormable, Functional Analysis and Its Applications, Band 7 (1973), Seiten 157–158