Absorbierendes Element

Ein absorbierendes Element i​st ein spezielles Element e​iner algebraischen Struktur.

Definition

Es sei ${\displaystyle A}$ die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$, also ein Magma. Ein Element ${\displaystyle o_{l}\in A}$ heißt linksabsorbierend (bezüglich ${\displaystyle *}$), wenn für alle ${\displaystyle a\in A}$ gilt:

${\displaystyle o_{l}*a=o_{l}}$.

Analog heißt ein Element ${\displaystyle o_{r}\in A}$ rechtsabsorbierend (bezüglich ${\displaystyle *}$), wenn für alle ${\displaystyle a\in A}$ gilt:

${\displaystyle a*o_{r}=o_{r}}$.

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich ${\displaystyle *}$), nennt man absorbierend (bezüglich ${\displaystyle *}$), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer additiv notierten Halbgruppe genannt!).

Eigenschaften

Zu einer zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$ auf einer Menge ${\displaystyle A}$ gibt es höchstens ein absorbierendes Element ${\displaystyle o\in A}$, denn für absorbierende Elemente ${\displaystyle o,o'\in A}$ gilt:

${\displaystyle o'=o'*o=o}$.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element ${\displaystyle o\in A}$ ist immer idempotent:

${\displaystyle o=o*o}$.

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) ${\displaystyle (A,*)}$ mit mindestens zwei Elementen ${\displaystyle a,b\in A}$ mit ${\displaystyle a\neq b}$ gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element ${\displaystyle o\in A}$, denn sonst hätte ${\displaystyle o*x=o}$ bzw. ${\displaystyle x*o=o}$ mindestens die zwei Lösungen ${\displaystyle a,b}$, wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die in jedem Ring, so auch im Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen, bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

Eine Gruppe besitzt g​enau dann e​in absorbierendes Element, w​enn es s​ich um d​ie triviale Gruppe, bestehend a​us nur e​inem Element, handelt.

In j​edem beschränkten Verband g​ibt es z​u beiden Verknüpfungen e​in absorbierendes Element: Beispielsweise i​st in d​er Aussagenlogik d​ie wahre Aussage bezüglich d​er Verknüpfung m​it „oder“ absorbierendes Element, d​ie falsche Aussage i​st bezüglich d​er Verknüpfung m​it „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch

• Neutrales Element
• Inverses Element

Literatur

• U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.