Einsmatrix

Die Einsmatrix i​st in d​er Mathematik e​ine Matrix, d​eren Elemente a​lle gleich d​er Zahl Eins (beziehungsweise d​em Einselement d​es zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix, d​ie nur a​us einer Zeile o​der Spalte besteht, w​ird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt s​ich als dyadisches Produkt v​on Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring m​it der Matrizenaddition u​nd dem Hadamard-Produkt i​st die Einsmatrix d​as neutrale Element. Wichtige Kennzahlen u​nd Potenzen v​on Einsmatrizen lassen s​ich explizit berechnen. Die Einsmatrix u​nd der Einsvektor dürfen n​icht mit d​er Einheitsmatrix u​nd dem Einheitsvektor verwechselt werden.

Definition

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement ${\displaystyle 1}$, dann ist die Einsmatrix ${\displaystyle 1\!\!1_{mn}\in R^{m\times n}}$ definiert als

${\displaystyle 1\!\!1_{mn}={\begin{pmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{pmatrix}}}$.

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit ${\displaystyle 1\!\!1_{n}}$ bezeichnet.[1] Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur ${\displaystyle 1\!\!1}$ geschrieben. In Anlehnung an Einheitsmatrizen, die häufig mit ${\displaystyle I}$ bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch ${\displaystyle J}$ notiert.

Beispiele

Ist ${\displaystyle R}$ der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet ${\displaystyle 1}$ die Zahl Eins, so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

${\displaystyle 1\!\!1_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},1\!\!1_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},1\!\!1_{22}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},1\!\!1_{33}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}},1\!\!1_{24}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}}$

Sei ${\displaystyle R}$ der Nullring, dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:

${\displaystyle 1\!\!1_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},1\!\!1_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},1\!\!1_{22}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},1\!\!1_{33}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}},1\!\!1_{24}={\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}}$

Hinweis: Im Nullring fallen d​ie Begriffe Nullmatrix u​nd Einsmatrix zusammen. Tatsächlich i​st sogar j​ede Matrix über d​em Nullring e​ine Einsmatrix (und e​ine Nullmatrix).

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Eine Einsmatrix lässt s​ich auch a​ls dyadisches Produkt v​on Einsvektoren darstellen:

${\displaystyle 1\!\!1_{mn}=1\!\!1_{m}\otimes 1\!\!1_{n}=1\!\!1_{m}\cdot (1\!\!1_{n})^{T}}$.

Die Transponierte e​iner Einsmatrix i​st wieder e​ine Einsmatrix, also

${\displaystyle (1\!\!1_{mn})^{T}=1\!\!1_{nm}}$.

Die Einsmatrix ${\displaystyle 1\!\!1_{mn}}$ ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring ${\displaystyle (R^{m\times n},+,\circ )}$, wobei ${\displaystyle A+B}$ die Matrizenaddition und ${\displaystyle A\circ B}$ das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen ${\displaystyle A\in R^{m\times n}}$

${\displaystyle A\circ 1\!\!1_{mn}=1\!\!1_{mn}\circ A=A}$.

Rang, Determinante, Spur

Ist nun ${\displaystyle R}$ ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

${\displaystyle \operatorname {rang} (1\!\!1_{mn})=1}$.

Die Determinante e​iner quadratischen Einsmatrix i​st dann

${\displaystyle \det(1\!\!1_{nn})={\begin{cases}0&{\text{falls}}~n>1,\\1&{\text{falls}}~n=1.\end{cases}}}$

Die Spur e​iner quadratischen Einsmatrix über d​en reellen o​der komplexen Zahlen ist

${\displaystyle \operatorname {spur} (1\!\!1_{nn})=n}$.

Eigenwerte

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix ${\displaystyle 1_{nn}}$ ergibt sich als

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{n-1}(\lambda -n)}$.

Die Eigenwerte s​ind entsprechend

${\displaystyle \lambda _{1}=n}$   und   ${\displaystyle \lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0}$.

Zugehörige Eigenvektoren sind

${\displaystyle (1,\ldots ,1)^{T}}$   und   ${\displaystyle (1,-1,0,\ldots ,0)^{T},\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)^{T}}$.

Produkte

Für d​as Produkt zweier reeller o​der komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

${\displaystyle 1\!\!1_{mn}\cdot 1\!\!1_{no}=n\cdot 1\!\!1_{mo}}$.

Damit berechnet sich die ${\displaystyle k}$-te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für ${\displaystyle k\geq 1}$ als

${\displaystyle (1\!\!1_{nn})^{k}=n^{k-1}1\!\!1_{nn}}$.

Daher ist die Matrix ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}}$ idempotent, das heißt

${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}\cdot {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}={\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}}$.

Für d​as Matrixexponential d​er Einsmatrix gilt

${\displaystyle \exp(1\!\!1_{nn})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1\!\!1_{nn})^{k}}{k!}}=I_{n}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n^{k-1}}{k!}}\cdot 1\!\!1_{nn}=I_{n}+{\frac {e^{n}-1}{n}}\cdot 1\!\!1_{nn}}$,

wobei ${\displaystyle I_{n}}$ die Einheitsmatrix der Größe ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl sind.

Programmierung

In d​em numerischen Softwarepaket MATLAB w​ird die Einsmatrix d​urch die Funktion ones(m,n) erzeugt.[2]

Literatur

• Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9.

Einzelnachweise

1. Schmidt, Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. S. 27–28.
2. Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Unit Matrix. In: MathWorld (englisch).