Normierbarer Raum

Ein normierbarer Raum o​der normierbarer Vektorraum i​st in d​er Mathematik e​in topologischer Vektorraum, dessen Topologie d​urch eine Norm erzeugt werden kann. Normierbare Räume werden insbesondere i​n der Topologie u​nd in d​er Funktionalanalysis untersucht.

Definition

Ein topologischer Vektorraum ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}})}$ heißt normierbar, wenn es eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ auf ${\displaystyle V}$ gibt, sodass das Mengensystem ${\displaystyle (U_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$ mit

${\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{v\in V:\|v\|\leq \varepsilon \}}$

eine Umgebungsbasis des Nullvektors bezüglich der Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ bilden.[1] Das ist äquivalent dazu, dass die Topologie auf ${\displaystyle V}$ durch die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ induziert wird.

Eigenschaften

Im Allgemeinen kann die Topologie eines normierbaren Raums durch mehrere Normen erzeugt werden. Sind ${\displaystyle \|\cdot \|_{a}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{b}}$ zwei Normen, die die gleiche Topologie erzeugen, so sind diese beiden Normen zueinander äquivalent. Wird eine der möglichen Normen ausgewählt, dann wird ${\displaystyle V}$ zu einem normierten Raum, dessen Normtopologie mit ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ übereinstimmt.[2]

Normierbarkeit bleibt u​nter folgenden Operationen erhalten:

• Jeder Untervektorraum eines normierbaren Raums ist wieder normierbar.[3]
• Der Faktorraum eines normierbaren Raums nach einem abgeschlossenen Untervektorraum ist wieder normierbar.[3]
• Das direkte Produkt einer Familie normierbarer Räume ist genau dann wieder normierbar, wenn nur endlich viele dieser Räume ungleich dem Nullvektorraum sind.[4]
• Die Vervollständigung eines normierbaren Raums ist wieder normierbar.[3]

Kriterien für Normierbarkeit

Nach d​em Normierbarkeitskriterium v​on Kolmogoroff i​st ein hausdorffscher topologischer Vektorraum g​enau dann normierbar, w​enn er e​ine beschränkte u​nd konvexe Nullumgebung besitzt. Insbesondere i​st jeder hausdorffsche lokalkonvexe Raum m​it beschränkter Nullumgebung normierbar.

Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume sind alle nicht lokalkonvexen Räume, insbesondere L^p([0,1]) mit 0 < p < 1, sowie alle unendlichdimensionalen Montel-Räume, insbesondere die Räume ${\displaystyle {\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\Omega \right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\Omega \right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\left(\Omega \right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {S}}'\left(\Omega \right)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\left(\Omega \right)}$ der Distributionentheorie. Weitere Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume liefert die schwache Topologie ${\displaystyle \sigma }$ auf unendlichdimensionalen normierten Räumen ${\displaystyle E}$, denn der Raum ${\displaystyle \left(E,\sigma \right)}$ ist genau dann normierbar, wenn ${\displaystyle E}$ endlichdimensional ist.

Siehe auch

• Quasinormierbarer Raum
• Metrisierbarer Raum

Literatur

• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2. Auflage. de Gruyter, 2012, ISBN 978-3-486-71968-0.
• John Leroy Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-41914-4.
• Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, ISBN 978-1-4684-9928-5.

Weblinks

• Norm. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2. Auflage. de Gruyter, 2012, S. 35.
2. John Leroy Kelley, Isaac Namioka: Linear Topological Spaces. Springer, 2013, S. 43.
3. Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, S. 41.
4. Helmut H. Schaefer: Topological Vector Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 3). Springer, 2013, S. 42.