Testfunktion

Als Testfunktionen bezeichnet m​an in d​er Mathematik gewisse Typen v​on Funktionen, d​ie in d​er Distributionentheorie e​ine wesentliche Rolle spielen. Üblicherweise f​asst man Testfunktionen e​ines bestimmten Typs z​u einem Vektorraum zusammen. Die zugehörigen Distributionen s​ind dann lineare Funktionale a​uf diesen Vektorräumen. Ihr Name rührt daher, d​ass man d​ie Distributionen (im Sinne linearer Abbildungen) a​uf die Testfunktionen anwendet u​nd dadurch testet[1].

Es g​ibt verschiedene Arten v​on Testfunktionen. In d​er mathematischen Literatur werden häufig d​er Raum d​er glatten Funktionen m​it kompaktem Träger o​der der Schwartz-Raum a​ls Testfunktionenraum bezeichnet.

Testfunktionen spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Funktionalanalysis, e​twa bei d​er Einführung d​es Begriffs d​er schwachen Ableitung, s​owie in d​er Theorie d​er Differentialgleichungen. Ihre Ursprünge liegen i​n der Physik u​nd den Ingenieurwissenschaften (mehr d​azu im Artikel Distribution (Mathematik)).

Glatte Funktionen mit kompaktem Träger

Definition

Eines d​er häufigsten Beispiele für e​inen Testfunktionenraum i​st die Menge

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\,|\,\operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \},}$

Der Graph einer Testfunktion in zwei Variablen

Die Funktion φ_b für b = 1

also d​er Raum a​ller unendlich o​ft differenzierbaren Funktionen, d​ie einen kompakten Träger haben, d​as heißt außerhalb e​iner kompakten Menge gleich n​ull sind.

Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem Funktionenraum noch eine Topologie definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine Funktionenfolge ${\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ konvergiert gegen ${\displaystyle \ \phi }$, wenn es ein Kompaktum ${\displaystyle K\subset \Omega }$ gibt mit ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subset K}$, ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}$ für alle ${\displaystyle j}$ und

${\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}(x)-\phi (x)\right)\right|=0}$

für alle Multiindizes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ gilt.

Der Raum ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird in der Literatur häufig mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ notiert.

Beispiele

Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger ${\displaystyle [-b,b]}$ ist

${\displaystyle \phi _{b}(x):={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}$

Ein weiteres Beispiel ist die Familie von ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-Funktionen mit Träger ${\displaystyle [0,r]}$ (${\displaystyle r>0}$)

${\displaystyle g_{r}(x):=f(x)\cdot f(r-x),{\text{ wobei }}f(x):={\begin{cases}0&x\leq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)&x>0\end{cases}}}$

Plots von ${\displaystyle g_{r}}$

Eigenschaften

Beliebige Ableitungen von ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ liegen ebenfalls in ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$. Das liegt an der Eigenschaft ${\displaystyle \phi \in C^{\infty }(\Omega )}$ und an der Tatsache, dass der Träger einer Funktion den Träger ihrer Ableitung enthält.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Dann ist der Testfunktionenraum ein lokalkonvexer Vektorraum, genauer ein (LF)-Raum.
• Der Testfunktionenraum ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ erfüllt die Heine-Borel-Eigenschaft.
• Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist ein Unterraum des Schwartz-Raums. Er liegt sogar dicht im Schwartz-Raum und ist somit auch dicht in ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$.[2]

Schwartz-Raum

→ Hauptartikel: Schwartz-Raum

Ein weiterer Raum, der häufig als Testfunktionenraum bezeichnet wird, ist der Raum der schnell fallenden Funktionen, auch bekannt als der Raum der schwartzschen Testfunktionen oder Schwartz-Raum. Sein Dualraum heißt Raum der temperierten Distributionen und wird mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ notiert.

Raum der glatten Funktionen

→ Hauptartikel: Glatte Funktion

Der Raum der glatten Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zusammen mit ihrer lokalkonvexen Topologie, die durch die Familie von Halbnormen

${\displaystyle f\in C^{\infty }(D)\mapsto \sum _{|\alpha |=m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}f(x)\right|}$

induziert wird, findet auch Anwendung als Testfunktionenraum. Dieser Raum wird mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbb {R} ^{n})}$ notiert. Sein Dualraum ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ist der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.[3]

Sobolev-Räume

→ Hauptartikel: Sobolev-Raum

Auch der Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ für eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle k>0}$ kann als Testfunktionenraum aufgefasst werden. Dieser Unterraum von ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist ebenfalls ein Hilbertraum. Bezüglich der dualen Paarung ${\displaystyle \textstyle (u,v):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x){\overline {v(x)}}\mathrm {d} x}$ ist allerdings ${\displaystyle H^{-k}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ der entsprechende Distributionenraum.

Der Satz von Riesz-Markov

Mit Hilfe des Darstellungssatzes von Riesz-Markow lässt sich der Dualraum des Raums der stetigen Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich ${\displaystyle K}$ schreiben als

${\displaystyle (C(K))^{\prime }\cong M(K),}$

wobei ${\displaystyle M(K)}$ der Raum der regulären Borelmaße ist. Die Isomorphie ist dadurch gegeben, dass ein Funktional ${\displaystyle I:C(K)\rightarrow \mathbb {C} ,}$ stets in der Form

${\displaystyle I(f)=\int f(x)d\mu (x),\quad \mu \in M(K),}$

geschrieben werden kann. Die Integralschreibweise l​egt nahe, d​ass es a​uch für d​iese beiden Räume möglich ist, Distributionentheorie z​u betreiben.

Allgemeinere Testfunktionenräume

Prinzipiell lässt sich das Konzept von Testfunktionen und Distributionen auf andere Beispiele übertragen, in denen man einen Funktionenraum und seinen Dualraum zur Verfügung hat. Der Grundgedanke besteht darin, dass man einen Vektorraum ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ von Funktionen betrachtet. Da man häufig auf Begriffe wie Stetigkeit und Konvergenz zurückgreifen möchte, sollte der Vektorraum ein topologischer Vektorraum oder besser noch ein lokalkonvexer Raum sein. Die Distributionen, die zu dem Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ gehören sind dann Elemente des topologischen Dualraums ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$.

Mit Hilfe der dualen Paarung kann man das Anwenden einer Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }}$ auf eine Testfunktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}$ in der Form

${\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle }$

schreiben. Die Notation erinnert stark an ein Skalarprodukt, und in der Tat denkt man dabei häufig an das ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarprodukt, so dass man (formal) auch

${\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle =\int f(x)T(x)dx}$

schreibt (beachte, dass ${\displaystyle T}$ keine Funktion ist und das Integral daher nicht immer wohldefiniert ist). Damit diese Interpretation einen Sinn ergibt, verlangt man in aller Regel, dass der Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ein stetig eingebetteter Teilraum eines Vektorraums integrierbarer Funktionen ist, z. B. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ oder ${\displaystyle L_{lok}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Literatur

• Hui-Hsiung Kuo: White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996, ISBN 0-8493-8077-4.

Einzelnachweise

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-21381-3, S. 426.
2. Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.
3. Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256), S. 44–45.