Montel-Raum

Der mathematische Begriff Montel-Raum bezeichnet e​ine spezielle Klasse lokalkonvexer Räume. Ihren Namen tragen s​ie nach d​em Satz v​on Montel a​us der Funktionentheorie. Viele lokalkonvexe Räume a​us der Theorie d​er Distributionen s​ind Montelräume.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum heißt Montel-Raum, w​enn er quasitonneliert i​st und d​er Abschluss j​eder beschränkten Menge kompakt ist.

Beispiele

• Ein normierter Raum ist genau dann Montelraum, wenn er endlich-dimensional ist.
• Ist ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }}$ ein Gebiet und ist ${\displaystyle H(G)}$ der Raum der holomorphen Funktionen auf G mit den Halbnormen ${\displaystyle \textstyle p_{K}(f):=\sup _{z\in K}|f(z)|}$, wobei ${\displaystyle K\subset G}$ die kompakten Teilmengen von G durchläuft, so hat nach dem Satz von Montel jede in ${\displaystyle H(G)}$ beschränkte Menge einen kompakten Abschluss. Da ${\displaystyle H(G)}$ als Fréchet-Raum auch quasitonneliert ist, erweist sich ${\displaystyle H(G)}$ als Montel-Raum.
• Sei ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}}$ offen und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R} }}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \textstyle p_{K,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ ein Montel-Raum. Dabei wurde für ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ die Multiindex-Schreibweise verwendet.
• Sei ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}}$ offen und ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\subset {\mathcal {E}}(\Omega )}$ der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in ${\displaystyle \Omega }$. Für kompaktes ${\displaystyle K\subset \Omega }$ sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )}$ der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$, die alle Einbettungen ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ stetig macht. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ mit dieser Topologie ist der Raum der Testfunktionen und ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren Montel-Raum.
• Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ der Raum aller Funktionen ${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$, für die alle Suprema ${\displaystyle \textstyle p_{k,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}}|(1+|x|^{2})^{m}D^{\alpha }f(x)|}$ endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \{p_{k,m};\,k,m\in {\mathbb {N} }_{0}\}}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ein Montel-Raum.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume.
• Jeder lokalkonvexe Raum mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, das heißt mit der von allen absolutkonvexen, absorbierenden Mengen als Nullumgebungsbasis erzeugten Topologie, ist ein Montel-Raum.

Eigenschaften von Montelräumen

• Montel-Räume sind reflexiv und daher tonneliert.
• Montel-Räume sind quasivollständig, d. h. jedes beschränkte Cauchy-Netz konvergiert. Es gibt unvollständige Montel-Räume.
• Direkte Produkte (mit der Produkttopologie) und direkte Summen (mit der Finaltopologie) von Montel-Räumen sind wieder Montel-Räume.
• Im Allgemeinen sind weder abgeschlossene Unterräume noch Quotienten von Montel-Räumen wieder Montel-Räume.
• Ist E ein Montel-Raum, so auch der starke Dualraum E'. Insbesondere sind also die in der Distributionstheorie auftretenden Räume ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\Omega )}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}'({\mathbb {R} }^{n})}$ Montel-Räume.

Quellen

• Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8