Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff

Das Normierbarkeitskriterium v​on Kolmogoroff (englisch Kolmogorov’s normability criterion) i​st ein Lehrsatz d​er Funktionalanalysis, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Es g​eht zurück a​uf eine Arbeit d​es russischen Mathematikers Andrej Kolmogoroff a​us dem Jahr 1934.

Kriterium

Das Normierbarkeitskriterium v​on Kolmogoroff besagt:

Die Topologie ${\displaystyle \tau }$ eines hausdorffschen topologischen Vektorraums ${\displaystyle (E,\tau )}$ wird genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn dessen Nullvektor eine Umgebung besitzt, welche eine zugleich beschränkte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle (E,\tau )}$ ist.

Ist die genannte Bedingung erfüllt, so ist ${\displaystyle (E,\tau )}$ ein normierbarer Raum.

Anwendungsbeispiel

Obige Charakterisierung normierbarer Räume k​ann verwendet werden, u​m festzustellen, d​ass ein Raum n​icht normierbar ist:

Der Folgenraum

${\displaystyle \omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }{\mathbb {K} }}$

aller ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Folgen (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$), versehen mit der Produkttopologie, ist ein unendlich-dimensionaler vollständig metrisierbarer topologischer Vektorraum, in welchem die Nullfolge ${\displaystyle (0)_{n\in \mathbb {N} }}$ keine beschränkte Umgebung besitzt. Daher ist ${\displaystyle \omega }$ nicht normierbar.

Historisches

Walter Rudin verweist i​n seiner Functional Analysis (2. Auflage, S. 400) darauf, d​ass das Normierbarkeitskriterium v​on Kolmogoroff möglicherweise d​en ersten Lehrsatz d​er Theorie d​er lokalkonvexen Räume darstellt.

Literatur

• A. Kolmogoroff: Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes. In: Studia Mathematica. Band 5, 1934, S. 29–33 (matwbn.icm.edu.pl [PDF]).
• Sterling K. Berberian: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 15). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 0-387-90080-2, S. 55–56, 106–108 (MR0417727).
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 30, 400 (MR1157815).
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 437.