Normalform

Eine Normalform (auch kanonische Form) i​st eine mathematische Darstellung m​it bestimmten, v​on der Art d​er Normalform vorgegebenen Eigenschaften. Ist e​ine Normalform definiert, k​ann diese ausgehend v​on einer beliebigen Darstellung d​urch Äquivalenzrelation erreicht werden. Führen mehrere Darstellungen z​ur gleichen Normalform, s​ind sie äquivalent bezüglich d​er Art d​er Normalform u​nd dadurch vergleich- u​nd ordenbar. Viele Normalformen s​ind eindeutig, z​u jeder Darstellung existiert d​ann nur e​ine einzige Normalform.

Formal i​st eine Normalform e​in letztes Element i​n einer Kette v​on einer wohlfundierten Relation. Die Relation w​ird hierbei v​on den erlaubten Umformungen definiert. Die Fundiertheit d​er Relationen f​olgt aus d​er Endlichkeit d​er Anzahl v​on Manipulationen.

Beispiele

• Der gekürzte Bruch einer rationalen Zahl setzt zwei gegebene Brüche in Relation bezüglich ihrer Zahlenwerte: ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {3}{6}}}$ haben beide die Normalform ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ und damit den gleichen Zahlenwert.
• Die Stufenform (s. u.) setzt eine Matrix ${\displaystyle A}$ in Relation zu einer Matrix ${\displaystyle B}$, wenn ${\displaystyle B}$ durch Pivotisierung aus ${\displaystyle A}$ hervorgeht.

Liste von Normalformen

Wichtige, konkrete Normalformen sind:

• in der Mathematik eine Darstellung eines Objektes, die bestimmte vorgegebene Eigenschaften hat und für alle Objekte dieses Typs eindeutig bestimmt werden kann. Insbesondere:
  • die hessesche Normalform einer Ebene
  • die Stufennormalform eines linearen Gleichungssystems, siehe Gaußsches Eliminationsverfahren
  • die jordansche Normalform einer quadratischen Matrix
  • die Frobenius-Normalform, auch rationale Normalform einer quadratischen Matrix
  • die Smith-Normalform einer Matrix mit Einträgen aus einem Hauptidealring
  • die Normalform einer orthogonalen Matrix, siehe Orthogonale Matrix #Diagonalisierbarkeit
  • die Normalform einer linearen Funktion, siehe Lineare Funktion
  • die Normalform einer quadratischen Gleichung, siehe Quadratische Gleichung
  • die Normalform einer Quadrik, siehe Quadrik #Normalformen
  • ein vollständig gekürzter Bruch für eine rationale Zahl

• in der Spieltheorie eine Darstellungsform eines Spiels, siehe Normalform eines Spiels
• in der theoretischen Informatik eine einfache Form einer kontextfreien Grammatik, siehe Chomsky-Hierarchie. Insbesondere
  • die Chomsky-Normalform
  • die Greibach-Normalform
  • die Gentzen-Normalform, siehe Gentzenscher Hauptsatz

• in der Praktischen Informatik bei relationalen Datenbanken die Datenstruktur, die durch schrittweises Entfernen von Redundanzen entsteht, siehe Normalisierung (Datenbank)

• in der Logik eine Darstellungsform einer logischen Formel, insbesondere
  • die Shannon-Normalform
  • die Negationsnormalform
  • Formeln in kanonischer Normalform, insbesondere als:
    • konjunktive Normalform
    • disjunktive Normalform
    • Ringsummennormalform

• in der Prädikatenlogik
  • die bereinigte Normalform
  • die Negationsnormalform
  • die Pränex-Normalform
  • die Skolemform
  • die Klausel-Normalform

• bei abstrakten Reduktionssystemen ein Objekt, das nicht weiter reduziert werden kann

• in der Digitaltechnik bei digitalen Filtern in Formalform die minimale Anzahl ihrer Elemente unter Berücksichtigung gewünschter Filtereigenschaften, siehe Digitales Filter