Normalform eines Spiels

Die Normalform e​ines Spiels, k​urz Normalform, bezeichnet i​n der Spieltheorie e​ine Darstellungsform v​on Spielen, d​ie sich i​m Wesentlichen a​uf die A-priori-Strategiemengen d​er einzelnen Spieler u​nd eine Auszahlungsfunktion a​ls Funktion d​er gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht w​ird diese Darstellungsform a​m ehesten solchen Spielen, b​ei denen a​lle Spieler i​hre Strategien gleichzeitig u​nd ohne Kenntnis d​er Wahl d​er anderen Spieler festlegen.

Eine Alternative i​st die Extensivform e​ines Spiels, d​eren Stärke i​n der anschaulichen Darstellung zeitlicher o​der logischer Abfolgen liegt.

Die Normalform für Spiele w​urde erstmals v​on Émile Borel (1921) u​nd John v​on Neumann (1928) beschrieben, d​ie erkannten, d​ass im Prinzip j​edes Strategiespiel i​n eine solche Form transformiert werden kann.

Definition

Die Normalform eines Spiels ist ein Tupel ${\displaystyle \Gamma =(N,\Sigma ,u)}$ mit den folgenden Elementen:[1]

Menge der Spieler

${\displaystyle N=\{1,2,\ldots ,n\}}$

Strategieraum

${\displaystyle \Sigma =\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}\times \dotsb \times \Sigma _{n}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}}$ bezeichnet die Strategiemenge des Spielers ${\displaystyle i}$, aus der er seine Züge wählen kann.

Nutzenfunktion

${\displaystyle u\colon \Sigma \to \mathbb {R} ^{n}}$

Dabei ist ${\displaystyle u_{i}\colon \Sigma \to \mathbb {R} }$ die Nutzenfunktion des Spielers ${\displaystyle i}$. Abhängig von der eigenen Strategie und der Strategie der anderen Spieler hat der Spieler einen Nutzen oder eine Auszahlung von ${\displaystyle u_{i}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i},\ldots ,\sigma _{n})}$.

Gemischte und reine Strategien

In den so genannten reinen Strategien wählen die Spieler genau ein ${\displaystyle \sigma _{i}\in \Sigma _{i}}$. Für manche Spiele ist es jedoch notwendig, den Spielern zusätzlich die Möglichkeit einzuräumen, zufällig die Strategien auszuwählen und zuvor lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ anzugeben, mit denen die einzelnen ${\displaystyle \sigma _{i,j}\in \Sigma _{i}}$ ausgewählt werden. Dabei bezeichnet ${\displaystyle s_{i}}$ die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und ${\displaystyle S_{i}}$ die Menge der möglichen Parameterkombinationen.

Ist ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ endlich beziehungsweise abzählbar, so ist ${\displaystyle s_{i}}$ ein Vektor, wobei ${\displaystyle s_{i,j}}$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Strategie ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$ gewählt wird. Man spricht bei ${\displaystyle s_{i}}$ von einer gemischten Strategie.

Das Tupel ${\displaystyle S(\Gamma )=(N,S,u)}$ ist die Normalform eines solchen Spiels in gemischten Strategien. Dabei gilt ${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2}\times \dotsb \times S_{n}}$, und ${\displaystyle u\colon S\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist der erwartete Nutzen.

Darstellung in Tabellenform

Bimatrix (Kampf der Geschlechter)

Werden nur Spiele mit zwei Spielern, ${\displaystyle N=\{1,2\}}$, betrachtet und sind die Strategiemengen ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ und ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ endlich und überschaubar, kann man ein Spiel in Normalform auch als eine Tabelle, die Auszahlungsmatrix (Bimatrix), darstellen:

Spieler 1\Spieler 2	${\displaystyle \sigma _{2,1}}$	${\displaystyle \sigma _{2,2}}$
${\displaystyle \sigma _{1,1}}$	(3,3)	(1,2)
${\displaystyle \sigma _{1,2}}$	(2,1)	(1,1)

In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination. Wählt Spieler 1 beispielsweise Strategie ${\displaystyle \sigma _{1,2}}$ und Spieler 2 ${\displaystyle \sigma _{2,1}}$, so erhält Spieler 1 eine Auszahlung in Höhe 2 und Spieler 2 eine Auszahlung in Höhe 1.

Einzelnachweise

1. Wolfgang Leininger und Erwin Amann: Einführung in die Spieltheorie., S. 14 ff.