Projektive Gerade

In d​er Mathematik, insbesondere d​er projektiven Geometrie i​st die projektive Gerade e​in eindimensionaler projektiver Raum.

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei ${\displaystyle V=K^{2}}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale ${\displaystyle K}$-Vektorraum. Die projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}K}$ ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von ${\displaystyle V}$.

Mit anderen Worten: d​ie projektive Gerade i​st der Quotientenraum

${\displaystyle P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim }$

bezüglich d​er Äquivalenzrelation

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}}$.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert z​wei Punkte g​enau dann, w​enn sie i​m selben eindimensionalen Untervektorraum, a​lso auf derselben Gerade d​urch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten

Jeder Punkt d​er projektiven Gerade k​ann in homogenen Koordinaten als

${\displaystyle \left[x:y\right]}$

mit ${\displaystyle x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)}$ dargestellt werden, wobei ${\displaystyle \left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]}$ für alle ${\displaystyle \lambda \in K\setminus \{0\}}$ gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich ∞ darstellbar.

Die projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}K}$ kann mit ${\displaystyle K\cup \left\{\infty \right\}}$, der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade ${\displaystyle K^{1}}$ identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade ${\displaystyle K=K^{1}}$ mit der in homogenen Koordinaten durch

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}}$

gegebenen Teilmenge der ${\displaystyle P^{1}K}$ identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der ${\displaystyle P^{1}K}$ bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Beispiele

• Die reelle projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}\mathbb {R} }$ ist homöomorph zum Kreis ${\displaystyle S^{1}}$.
• Die komplexe projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} }$ wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$.
• Die projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}F_{q}}$ über dem endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}$ hat ${\displaystyle q+1}$ Elemente.

Automorphismen

Möbiustransformation auf ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$

Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle GL(2,K)}$ wirkt auf ${\displaystyle K^{2}}$ durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,K)}$ ist die Faktorgruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)/K^{\times }}$, wobei ${\displaystyle K^{\times }}$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen ${\displaystyle k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}}$ der Identität ${\displaystyle \mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}}$ ist mit ${\displaystyle k}$ aus ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$. Die Wirkung von ${\displaystyle GL(2,K)}$ auf ${\displaystyle K^{2}}$ induziert eine wohldefinierte Wirkung von ${\displaystyle PGL(2,K)}$ auf ${\displaystyle P^{1}K}$. Die Automorphismen von ${\displaystyle P^{1}K}$ sind per Definition die durch Elemente von ${\displaystyle PGL(2,K)}$ beschriebenen Abbildungen ${\displaystyle P^{1}K\to P^{1}K}$.

In homogenen Koordinaten wirken d​ie Matrizen a​ls gebrochen-lineare Transformationen:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

nach der Identifizierung ${\displaystyle \left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}}$.

Die Automorphismengruppe w​irkt transitiv a​uf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante d​er projektiven Geometrie i​st das Doppelverhältnis v​on 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen s​ich zwei solche 4-Tupel g​enau dann d​urch einen Automorphismus ineinander überführen, w​enn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ bezeichnet man die Automorphismen von ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} }$ als Möbiustransformationen.

Projektive Geraden in der projektiven Ebene

Die projektive Gerade durch zwei gegebene Punkte ${\displaystyle \left[x_{1}:y_{1}:z_{1}\right]}$ und ${\displaystyle \left[x_{2}:y_{2}:z_{2}\right]}$ der projektiven Ebene bestimmt man, indem man die beiden Punkte als Geraden im ${\displaystyle K^{3}}$ auffasst (und durch ihre Geradengleichung beschreibt), die sie enthaltende Ebene im ${\displaystyle K^{3}}$ berechnet (siehe Ebenengleichung) und diese Ebene dann auf eine projektive Gerade in ${\displaystyle P^{2}K}$ projiziert.

Analog bestimmt m​an projektive Geraden d​urch zwei gegebene Punkte i​n einem höherdimensionalen projektiven Raum.

Literatur

• Klein, Felix: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Zweiter Band: Geometrie. Dritte Auflage. Ausgearbeitet von E. Hellinger. Für den Druck fertig gemacht und mit Zusätzen versehen von Fr. Seyfarth. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 15 Springer-Verlag, Berlin 1968
• Aczél, J.; Gołąb, S.; Kuczma, M.; Siwek, E.: Das Doppelverhältnis als Lösung einer Funktionalgleichung. Ann. Polon. Math. 9 1960/1961 183–187.
• Kerby, William: Eine Bemerkung über die Gruppen PGL(2,F). Results Math. 15 (1989), no. 3–4, 291–293.

Weblinks

• Projective Geometry - 2D