Teichmüller-Raum

In d​er Funktionentheorie bezeichnet d​er Teichmüller-Raum (nach Oswald Teichmüller) e​inen Raum v​on Äquivalenzklassen kompakter Riemannscher Flächen u​nd ermöglicht s​o eine Klassifikation a​ller kompakten Riemannschen Flächen.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,g)}$ eine kompakte Riemannsche Fläche mit Geschlecht ${\displaystyle p\in \mathbb {N} _{0}}$ und mit konformer Struktur ${\displaystyle g}$. Zwei Strukturen ${\displaystyle (X,g_{1}),(X,g_{2})}$ auf der gleichen Fläche werden als äquivalent bezeichnet, wenn es einen konformen Diffeomorphismus ${\displaystyle f\colon X\to X}$ gibt, der homotop zur Identität ist. Der Raum all dieser Äquivalenzklassen von Riemannschen Flächen zum Geschlecht ${\displaystyle p\in \mathbb {N} _{0}}$ heißt Teichmüller-Raum und wird mit ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}(X)}$ bezeichnet.

Klassifikation

Nach einem Satz von Teichmüller ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}(X)}$, versehen mit einer passenden Struktur einer Mannigfaltigkeit, für jede konforme Struktur ${\displaystyle g}$ diffeomorph zum endlich-dimensionalen Vektorraum der quadratischen Differentialformen ${\displaystyle Q_{g}(X)}$ auf ${\displaystyle X}$, dessen Dimension sich folgendermaßen berechnet:

• ${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {C} }\;Q_{g}(X)=0}$, falls ${\displaystyle p=0}$
• ${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {C} }\;Q_{g}(X)=1}$, falls ${\displaystyle p=1}$
• ${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {C} }\;Q_{g}(X)=3p-3}$, falls ${\displaystyle p\geq 2}$

Eine Abbildung zwischen Riemannschen Flächen i​st genau d​ann holomorph, w​enn sie konform (winkeltreu) u​nd orientierungserhaltend ist. Somit lässt s​ich aus d​er Klassifikation d​er konformen Strukturen a​uch die Klassifikation d​er komplexen Strukturen gewinnen.

Motivation

• Für eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle p\geq 2}$ gibt es eine natürliche bijektive Beziehung zwischen den konformen Strukturen und den hyperbolischen Metriken, die auf dieser Fläche definiert werden können. Somit lässt sich das Problem der möglichen konformen Strukturen auf eine geometrisch-analytische Frage der Metrik zurückführen. Die hyperbolischen Metriken werden von der universellen Überlagerung durch die hyperbolische Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ induziert.
• Der Raum aller Äquivalenzklassen von möglichen konformen Strukturen ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}(X)}$ auf einer Fläche ${\displaystyle X}$ vom Geschlecht ${\displaystyle p}$ verfügt über eine komplizierte Topologie und ist keine Mannigfaltigkeit; wobei zwei Strukturen ${\displaystyle (X,g_{1}),(X,g_{2})}$ als äquivalent gelten, wenn eine konforme Abbildung zwischen ihnen existiert. Das motiviert die schwächere Äquivalenzrelation des Teichmüller-Raumes.
• Es gibt für jede konforme Struktur ${\displaystyle g}$ eine bijektive Abbildung ${\displaystyle q_{g}:{\mathcal {T}}_{p}(X)\to Q_{g}(X)}$ in den Raum der quadratischen Differentialformen ${\displaystyle Q_{g}(X)}$ auf ${\displaystyle (X,g)}$, welcher offensichtlich einen Vektorraum bildet und der überdies endlich-dimensional ist. Dadurch wird schließlich eine Differenzierbarkeitsstruktur auf ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}(X)}$ definiert und ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}(X)}$ ist diffeomorph zu einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Dieser letzte Schritt ist im Wesentlichen der oben formulierte Satz von Teichmüller.

Höhere Teichmüller-Theorie

Die Holonomie-Darstellung bettet den Teichmüller-Raum ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}(X)}$ in den Quotienten

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}X,\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} ))/\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$

der Darstellungsvarietät ein, wobei ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}X,\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} ))}$ durch Konjugation wirkt. Diese Einbettung identifiziert den Teichmüller-Raum mit der Menge der injektiven, diskreten Darstellungen. Letztere bilden eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät und lassen sich auch durch verschiedene andere Bedingungen charakterisieren. Unter der Bezeichnung Höhere Teichmüller-Theorie werden Ansätze zusammengefasst, mit denen für höher-dimensionale Lie-Gruppen ${\displaystyle G}$ und kompakte Flächen X einzelne Komponenten der Darstellungsvarietät ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}X,G)/G}$ charakterisiert werden sollen.[1]

Literatur

• Jürgen Jost: Compact Riemann Surfaces. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-33065-8
• Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6, doi:10.4171/029. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 11)
• Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5, doi:10.4171/055. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13)
• Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2012, ISBN 978-3-03719-103-3, doi:10.4171/103. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19)

Weblinks

• Kapovich: Notes on Teichmuller Theory. (PDF; 559 KB)

Einzelnachweise

1. Burger, Iozzi, Wienhard: Higher Teichmüller spaces: From SL(2,R) to other Lie groups. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. III, arxiv:1004.2894v4