Flacher Zusammenhang
In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.
Definition
Sei eine Lie-Gruppe und ein -Prinzipalbündel.
Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang , dessen Krümmungsform verschwindet: .
Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein -Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form
mit für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung ist. heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.
Modulraum flacher Zusammenhänge
Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist mit der -Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit bezeichnet. Die Eichgruppe wirkt auf durch , sie bildet in sich ab.
Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen
und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät
- .
Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist
- .
Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang ist
mit
für .
Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über .[1][2]
Quellen
- Narasimhan, Seshadri: Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface
- Donaldson: A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri (Memento des Originals vom 1. Februar 2017 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.