Flacher Zusammenhang

In d​er Mathematik s​ind flache Zusammenhänge i​n Geometrie u​nd Eichtheorie v​on Bedeutung.

Definition

Sei eine Lie-Gruppe und ein -Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang , dessen Krümmungsform verschwindet: .

Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein -Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form

mit für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung ist. heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.

Modulraum flacher Zusammenhänge

Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist mit der -Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit bezeichnet. Die Eichgruppe wirkt auf durch , sie bildet in sich ab.

Falls d​as Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt d​ie Holonomie-Darstellung e​ine Bijektion zwischen

und e​iner Zusammenhangskomponente d​er Darstellungsvarietät

.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang ist

mit

für .

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über .[1][2]

Quellen

  1. Narasimhan, Seshadri: Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface
  2. Donaldson: A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri (Memento des Originals vom 1. Februar 2017 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/projecteuclid.org
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