Gleichgradige Integrierbarkeit

Die gleichgradige Integrierbarkeit, a​uch gleichmäßige Integrierbarkeit genannt, i​st in d​er Mathematik e​ine Verstärkung d​es Begriffs d​er Integrierbarkeit. Im Gegensatz z​ur Integrierbarkeit i​st sie i​mmer eine Eigenschaft e​iner Familie v​on Funktionen u​nd nicht d​ie einer einzelnen Funktion. Allerdings k​ann die Familie a​uch einelementig sein. Die gleichgradige Integrierbarkeit i​st vor a​llem in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd der Maßtheorie v​on Bedeutung, d​a sie e​s ermöglicht, mittels d​es Konvergenzsatzes v​on Vitali e​ine Verbindung v​on der Konvergenz i​m p-ten Mittel z​u der Konvergenz i​n Wahrscheinlichkeit d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd der Konvergenz n​ach Maß bzw. d​er Konvergenz l​okal nach Maß d​er Maßtheorie z​u schlagen. Anschaulich i​st eine Familie v​on Funktionen d​ann gleichgradig integrierbar, w​enn das Integral über „kleinen“ Mengen a​uch keine z​u großen Werte annimmt.

Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ein Maßraum, ${\displaystyle \mu }$ ein (positives) Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu ):={\mathcal {L}}^{1}(\Omega ,\mu )}$ sei die Menge der bezüglich ${\displaystyle \mu }$ integrierbaren Funktionen von ${\displaystyle \Omega }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bezeichnet. Der Positivteil einer Funktion sei mit ${\displaystyle f^{+}:=\max\{0,f\}}$, die Menge der positiven, bezüglich ${\displaystyle \mu }$ integrierbaren Funktionen auf ${\displaystyle \Omega }$ mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(\mu )^{+}}$ notiert.

Für allgemeine Maße

Eine Familie ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von messbaren Funktionen auf ${\displaystyle \Omega }$ heißt gleichgradig integrierbar bezüglich ${\displaystyle \mu }$, wenn sie eine der folgenden vier äquivalenten Bedingungen erfüllt[1]:

• Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Es ist ${\displaystyle \inf _{c\in [0,\infty )}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq c\}}|f|\mathrm {d} \mu =0}$.
2. Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert ein ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$ und

${\displaystyle \int _{\Omega \backslash A}|f|\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon }$.

• Es ist

${\displaystyle \inf _{g\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )^{+}}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\Omega }(|f|-g)^{+}\mathrm {d} \mu =0}$.

• Es ist

${\displaystyle \inf _{g\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )^{+}}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq g\}}|f|\mathrm {d} \mu =0}$.

• Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Es ist ${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int \vert f\vert \mathrm {d} \mu <\infty }$
2. Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existieren ein ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )^{+}}$ und ein ${\displaystyle \delta >0}$ derart, dass die Implikation

${\displaystyle \int _{A}g\;\mathrm {d} \mu \leq \delta \Longrightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\;\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon }$

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ gültig ist.

Insbesondere i​st also j​edes Element gleichgradig integrierbarer Familien selbst e​ine integrierbare Funktion.

Für endliche Maße

Ist das Maß endlich, ist also ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$, so existieren vereinfachte Charakterisierungen: Die gleichgradige Integrierbarkeit bezüglich ${\displaystyle \mu }$ einer Familie ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ messbarer Funktionen auf ${\displaystyle \Omega }$ ist dann äquivalent zu jeder der folgenden Aussagen[2][3]:

• Es ist

${\displaystyle \inf _{c\in [0,\infty )}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int (|f|-c)^{+}\mathrm {d} \mu =0}$.

• Es ist

${\displaystyle \inf _{c\in [0,\infty )}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq c\}}|f|\mathrm {d} \mu =0}$.

• Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Es ist ${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int \vert f\vert \mathrm {d} \mu <\infty }$.
2. Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert ein ${\displaystyle \delta >0}$ derart, dass die Implikation

${\displaystyle \mu (A)\leq \delta \Longrightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\;\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon }$

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ gültig ist.

Gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel

Eine Familie von Funktionen ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ heißt gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel, wenn die Familie ${\displaystyle (|f_{i}|^{p})_{i\in I}}$ gleichgradig integrierbar ist.

Eigenschaften

• Jede endliche Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$ ist gleichgradig integrierbar.
• Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ Familien von Funktionen und sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ gleichgradig integrierbar. Existiert zu jedem ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ein ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$, so dass ${\displaystyle \vert g\vert \leq \vert f\vert }$, so ist auch ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ gleichgradig integrierbar.
• Existiert ein ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$, sodass ${\displaystyle |f|\leq |g|}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ gleichgradig integrierbar. Dies ist ein direkter Spezialfall der beiden oberen Eigenschaften.
• Eine Folge ${\displaystyle f_{n}}$ von messbaren Funktionen konvergiert genau dann im Mittel, d. h. bezüglich der ${\displaystyle L^{1}}$-Norm, gegen eine Funktion ${\displaystyle f}$, wenn sie dem Maße nach konvergiert und gleichgradig integrierbar ist. Dies folgt aus dem Konvergenzsatz von Vitali.
• Allgemeiner konvergiert eine Folge ${\displaystyle f_{n}}$ von messbaren Funktionen genau dann im p-ten Mittel, also bezüglich der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm, gegen eine Funktion ${\displaystyle f}$, wenn sie dem Maße nach konvergiert und im p-ten Mittel gleichgradig integrierbar ist. Diese Aussage folgt ebenfalls aus dem Konvergenzsatz von Vitali.
• Sind ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ gleichgradig integrierbare Familien, so sind auch ${\displaystyle \alpha {\mathcal {F}}+\beta {\mathcal {G}}}$ für ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}}$ und ${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}\vert }$ gleichgradig integrierbare Familien. Die Operationen sind dabei immer elementweise zu verstehen, falls nicht klar.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise

1. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. Definition 13.29, Satz 13.31.
2. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. Satz 13.32
3. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. Satz 6.17, Satz 6.24