Levi-Civita-Körper

Der Levi-Civita-Körper i​st ein Körper, d​er von Tullio Levi-Civita erfunden wurde. Die reellen Zahlen bzw. d​ie komplexen Zahlen s​ind ein Unterkörper d​es Levi-Civita-Körpers. Der Levi-Civita-Körper findet Anwendung i​n der effizienten symbolischen Berechnung v​on Werten v​on höheren Ableitungen v​on Funktionen.

Definition

Grundmenge des Körpers

Die Grundmenge des Levi-Civita-Körpers sind alle Funktionen ${\displaystyle x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ (bzw. ${\displaystyle x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {C} }$), die einen linksendlichen Träger haben.

Notation

• So wie die reellen Zahlen mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$ abgekürzt werden, kann man den Levi-Civita-Körper mit ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ oder mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ abkürzen, je nachdem, ob die Grundmenge aus reellen oder komplexen Funktionen besteht.
• Falls ${\displaystyle x}$ im Levi-Civita-Körper ist und einen nichtleeren Träger hat, so bezeichnet man mit ${\displaystyle \lambda (x)}$ das Minimum des Trägers, das wegen Linksendlichkeit existiert.
• Man schreibt für ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$, dass ${\displaystyle x=_{r}y:\Leftrightarrow \forall q\in \mathbb {Q} ,q\leq r,x(q)=y(q)}$.

Addition

Die Addition von zwei Elementen der Grundmenge ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ wird folgendermaßen definiert:

${\displaystyle (x+y)(q):=x(q)+y(q)}$

Das additive Inverse lautet w​ie folgt:

${\displaystyle (-x)(q):=-x(q)}$

Das Nullelement lautet:

${\displaystyle 0(q):=0\in \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle 0(q):=0\in \mathbb {C} }$

Multiplikation

Die Multiplikation von zwei Elementen der Grundmenge ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ wird folgendermaßen definiert:

${\displaystyle (x\cdot y)(q):=\sum _{q_{x},q_{y}\in \mathbb {Q} \atop q=q_{x}+q_{y}}x(q_{x})\cdot y(q_{y})}$

Einselement

Das Einselement d​es Levi-Civita-Körpers i​st die Funktion

${\displaystyle 1(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.}$.

Multiplikatives Inverses

Wenn ${\displaystyle z}$ ein Element des Levi-Civita-Körpers ist, so kann man ein multiplikatives Inverses wie folgt konstruieren: Man wählt ${\displaystyle {\tilde {z}}(q)=z(q-a)\cdot {\frac {1}{b}}}$, wobei ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ die kleinste Zahl mit ${\displaystyle z(a)\neq 0}$ ist und ${\displaystyle b=z(a)}$. Wenn der Träger von ${\displaystyle {\tilde {z}}}$ nur die 0 enthält, dann ist ${\displaystyle ({\tilde {z}})^{-1}={\tilde {z}}}$. Sonst ist ${\displaystyle z=y+1}$ für ein ${\displaystyle y}$ im Levi-Civita-Körper und man sucht erst nach einem ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle (x+1)\cdot (y+1)=1}$. Man definiert die Folge ${\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ durch ${\displaystyle y_{0}=y}$ und ${\displaystyle y_{i+1}=-y\cdot y_{i}-y}$. Dann erfüllt ${\displaystyle x=\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}}$ die gewünschte Eigenschaft. Dann ist ${\displaystyle ({\tilde {z}})^{-1}=x+1}$. Nun findet man das multiplikative Inverse von ${\displaystyle z}$ durch ${\displaystyle z^{-1}(q)={\tilde {z}}^{-1}(q+a)\cdot {\frac {1}{b}}}$.

Fixpunktsatz

Die obige Definition des multiplikativen Inversen ergibt sich aus dem Beweis des Fixpunktsatzes (siehe in der ersten Quelle), der garantiert, dass der Limes der Folge ${\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ existiert und die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Der Fixpunktsatz lautet wie folgt:

Sei ${\displaystyle q_{M}\in \mathbb {Q} }$. Sei ${\displaystyle M\subset {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle M\subset {\mathcal {C}}}$ die Menge der Elemente ${\displaystyle x}$, sodass ${\displaystyle \lambda (x)\geq q_{M}}$. Sei ferner ${\displaystyle f\colon M\to {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle f\colon M\to {\mathcal {C}}}$ eine Funktion mit den Eigenschaften

• ${\displaystyle f(M)\subset M}$
• ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {Q} ,k>0:\forall x_{1},x_{2}\in {\mathcal {R}}}$ (bzw. ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {C}}}$) ${\displaystyle$ :\forall q\in \mathbb {Q} :x_{1}=_{q}x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=_{q+k}f(x_{2})}

Dann existiert genau ein ${\displaystyle x\in {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}}$, sodass:

${\displaystyle x=f(x)}$

Einbettung der reellen bzw. komplexen Zahlen

Um d​ie reellen bzw. komplexen Zahlen i​n den Levi-Civita-Körper einzubetten, bedient m​an sich folgender Funktion:

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} \to {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {C} \to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Pi (x)(q)=\left\{{\begin{array}{ll}x&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.}$.

Hierbei wird das Einselement von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ auf das Einselement von ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ abgebildet. Ferner ist ${\displaystyle \Pi }$ ein Homomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation. Daher können die reellen und komplexen Zahlen als Unterkörper des Levi-Civita-Körpers angesehen werden.

Ordnung des reellen Levi-Civita-Körpers

Seien ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {R}}}$ bzw.. Man sagt ${\displaystyle x>y}$, wenn ${\displaystyle x-y\neq 0}$ und ${\displaystyle (x-y)(\lambda (x-y))>0}$. Dadurch wird der Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen zu einem geordneten Körper.

Mit dieser Ordnung i​st zum Beispiel d​ie Zahl

${\displaystyle d(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=1\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.}$

kleiner a​ls jede positive reelle Zahl.

Das Archimedische Axiom ist für den Levi-Civita-Körper nicht erfüllt. Beispielsweise gilt: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}$ :\epsilon \in \mathbb {R} _{+}\Rightarrow n\cdot d<\epsilon }

Wurzeln

Bezüglich der oben definierten Multiplikation hat jedes ${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}}$ immer genau ${\displaystyle n}$ verschiedene ${\displaystyle n}$-te Wurzeln. Für ein ${\displaystyle x\in {\mathcal {R}}}$ existieren die folgenden Anzahlen von ${\displaystyle n}$-ten Wurzeln von ${\displaystyle x}$:

	n ungerade	n gerade
x negativ	1	0
x positiv	1	2
x null	1	1

Betrag

Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen

Sei ${\displaystyle x\in {\mathcal {R}}}$. Der Betrag von x ist definiert durch:

${\displaystyle |x|:=\left\{{\begin{array}{ll}-x&{\mbox{falls }}x<0\\x&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.}$

Levi-Civita-Körper der komplexen Funktionen

Sei ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}},x=a+ib}$, wobei ${\displaystyle i}$ die imaginäre Zahl ist. Der Betrag von x ist definiert durch:

${\displaystyle |x|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Hierbei i​st die Wurzel bezüglich d​er oben definierten Multiplikation d​es Levi-Civita-Körpers gemeint.

Halbnorm

Sei ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$. Dann kann man die folgende Halbnorm auf dem Levi-Civita-Körper definieren:

${\displaystyle \|x\|_{r}=\sup _{q\leq r}|x(q)|}$

, wobei ${\displaystyle |\cdot |}$ der Betrag der reellen bzw. komplexen Zahlen ist.

Topologien

Ordnungstopologie

Sei ${\displaystyle M\subset {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle M\subset {\mathcal {C}}}$. Sei

${\displaystyle O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}}$ bzw. ${\displaystyle O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {C}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}}$.

Für d​ie Ordnungstopologie definiert m​an als offene Menge, sofern

${\displaystyle \forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:O(x_{0},\epsilon )\subset M}$.

Diese Topologie h​at die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ zu nichtzusammenhängenden Hausdorff-Räumen.
• Mit dieser Definition von offenen Mengen sind ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ keine lokalkompakten Räume.
• Auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stimmt diese Topologie von ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ mit der diskreten Topologie überein.

Halbnormtopologie

Sei ${\displaystyle \|\cdot \|_{r}}$ die Halbnorm des Levi-Civita-Körpers. Sei ${\displaystyle M\subset {\mathcal {R}}}$ bzw. ${\displaystyle M\subset {\mathcal {C}}}$. Sei

${\displaystyle S(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:\|x-x_{0}\|_{1/\epsilon }<\epsilon \}}$.

Für d​ie Halbnormtopologie definiert m​an M a​ls offene Menge, sofern

${\displaystyle \forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:S(x_{0},\epsilon )\subset M}$.

Diese Topologie h​at die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ zu Hausdorff-Räumen mit abzählbaren Basen.
• Die durch sie definierte Topologie ist eingeschränkt auf die reellen bzw. komplexen Zahlen die Standardtopologie.

Derivation

Man kann auf dem Levi-Civita-Körper eine Derivation ${\displaystyle \partial }$ definieren:

${\displaystyle (\partial x)(q):=(q+1)x(q+1)}$

Für d​iese Derivation gilt:

• ${\displaystyle \partial 0=0}$
• ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {R}},x\neq 0:\lambda (\partial x)=\lambda (x)-1}$

Anwendungen

Der Levi-Civita-Körper ermöglicht d​ie effiziente Berechnung höherer Ableitungen v​on Funktionen w​ie zum Beispiel

${\displaystyle x\mapsto {\frac {\sin(x^{3}+2x+1)+{\frac {3+\cos(\sin(\ln |1+x|))}{\exp(\tanh(\sinh(\cosh({\frac {\sin(\cos(\tan(\exp(x))))}{\cos(\sin(\exp(\tan(x+2))))}}))))}}}{2+\sin(\sinh(\cos(\tan ^{-1}(\ln(\exp(x)+x^{2}+3)))))}}}$.

Es g​ibt ein a​uf dem Levi-Civita-Körper basierendes Programm, welches d​en Wert d​er 19. Ableitung dieser Funktion a​n der Stelle 0 innerhalb v​on weniger a​ls einer Sekunde berechnet. Mathematica benötigt hingegen z​ur Berechnung d​es Wertes d​er 6. Ableitung dieser Funktion a​n der Stelle 0 m​ehr als 6 Minuten.

Quellen

• Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. 1996, ISBN 0-89871-385-4, Kap. 2 (Online [PDF; abgerufen am 6. Juni 2013]).
• Khodr Shamseddine, Martin Berz: The Differential Algebraic Structure of the Levi-Civita Field and Applications. (Online [PDF; 199 kB; abgerufen am 15. August 2013]).