Linksendliche Menge

Eine linksendliche Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, die für jedes ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$ nur endlich viele Elemente ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x<k}$ enthält. Linksendliche Mengen werden zur Definition des Levi-Civita-Körpers benötigt.

Definition

Eine Menge ${\displaystyle M\subset \mathbb {Q} }$ heißt linksendlich genau dann, wenn ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Q}$ :|\{x\in M:x<k\}|<\infty } gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle |\cdot |}$ die Mächtigkeit einer Menge. Äquivalent dazu: ${\displaystyle M}$ ist entweder endlich oder ordnungsisomorph zu den natürlichen Zahlen.

Beispiele

• Jede endliche Menge ist linksendlich.
• die Menge der natürlichen Zahlen ist linksendlich, obwohl sie unendlich viele Elemente enthält.

Gegenbeispiele

• Die Menge der ganzen Zahlen ist nicht linksendlich.

Eigenschaften

• Die Elemente einer linksendlichen Menge können bezüglich ihrer Ordnungsrelation aufsteigend angeordnet werden.
• Jede nicht-leere linksendliche Menge ${\displaystyle M}$ (d. h. ${\displaystyle M}$ ist linksendlich und ${\displaystyle M\neq \emptyset }$) hat ein Minimum.
• Die Vereinigungsmenge und die Schnittmenge von zwei linksendlichen Mengen sind wieder linksendliche Mengen.
• Eine Teilmenge einer linksendlichen Menge ist auch linksendlich.
• Sind ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ zwei linksendliche Mengen, so ist die Menge ${\displaystyle M+N:=\{m+n|m\in M,n\in N\}}$ auch linksendlich.

Quellen

• Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. 1996, ISBN 0-89871-385-4, Kap. 2 (englisch, Online [PDF; abgerufen am 6. Juni 2013]).